Mengenal Tokoh Matematika (Matematikawan)

Mengenal Tokoh Matematika (Matematikawan). Ada banyak sekali tokoh matematika yang berjasa dalam pengembangan ilmu matematika. Dari pemikiran-pemikiran tokoh tersebut terjadi begitu banyak perkembangan yang sangat bermanfaat. Dari jasa mereka matematika saat ini menjadi bidang keilmuan yang sangat kaya dengan konsep-konsep yang dapat kita manfaatkan dalam kehidupan kita sehari-hari.

Tokoh - Tokoh Matematika Dunia

Berikut ini beberapa tokoh matematika terkenal yang sangat berjasa dalam perkembangan ilmu matematika:

1. Archimedes
2. Euclid
3. Fibonacci
4. Alkhowarismi
5. John Napier
6. Pythagoras
7. Omar Khayyam

Demi menghargai jasa-jasa mereka sudah sepantasnya kita mengenal dan juga mempelajari serta mengembangkan ilmu matematika untuk kebutuhan hidup kita. Untuk mengenal lebih dalam mengenai tokoh-tokoh diatas silahkan pelajari dari masing-masing tautan diatas.

Tokoh Matematika - Archimedes

Archimedes yang hidup di Yunani pada tahun 287 sampai 212 sebelum masehi, adalah seorang matematikawan, fisikawan, astronom sekaligus filusuf. Archimedes dilahirkan di kota pelabuhan bernama Syracuse, kota ini sekarang dikenal sebagai Sisilia. Archimedes merupakan keponakan raja Hiero II yang memerintah di Syracuse pada masa itu. Ia dibunuh oleh seorang prajurit Romawi pada penjarahan kota Syracusa, meskipun ada perintah dari jendral Romawi, Marcellus bahwa ia tak boleh dilukai. Sebagian sejarahwan matematika memandang Archimedes sebagai salah satu matematikawan terbesar sejarah, mungkin bersama-sama Newton dan Gauss.

Tokoh Matematika - Archimedes

Nama Archimedes menjadi terkenal setelah ia melompat dari bak mandinya dan berlari-lari telanjang setelah membuktikan bahwa mahkota raja tidak terbuat dari emas murni. Ucapannya "Eureka (aku menemukannya)" menjadi terkenal sampai saat ini. Archimedes juga merupakan orang pertama yang mendefinisikan sistem angka yang mengandung "myriad (10000)", myramid menunjukkan seuatu bilangan yang nilainya tak berhingga. Ia juga mendefinisikan perbandingan antara keliling lingkaran dan jari-jari lingkaran yang dikenal sebagai pi sebesar 3.1429.

Raja Hiero II kala itu terikat perjanjian dengan bangsa Romawi. Syracuse harus mengirimkan gandum dalam jumlah yang besar pada bangsa Romawi, agar mereka tidak diserang. Hingga pada suatu ketika Hiero II tidak mampu lagi mengirim gandum dalam jumlah yang ditentukan. Karena itu Archimedes ditugaskan merancang dan membuat kapal jenis baru untuk memperkuat angkatan laut raja Hiero II.

Pada masa itu, kapal yang dibuat oleh Archimedes adalah kapal yang terbesar. Untuk dapat mengambang, kapal ini harus dikeringkan dahulu dari air yang menggenangi dek kapal. Karena besarnya kapal ini, jumlah air yang harus dipindahkanpun amat banyak. Karena ituArchimedes menciptakan sebuah alat yang disebut "Sekrup Archimedes". Dengan ini air dapat dengan mudah disedot dari dek kapal. Ukuran kapal yang besar ini juga menimbulkan masalah lain. Massa kapal yang berat, menyebabkan ia sulit

untuk dipindahkan. Untuk mengatasi hal ini, Archimedes kembali menciptkan sistem katrol yang disebut "Compound Pulley". Dengan sistem ini, kapal tersebut beserta awak kapal dan muatannya dapat dipindahkan hanya dengan menarik seutas tali. Kapal ini kemudian diberi nama Syracusia, dan menjadi kapal paling fenomenal pada zaman itu.

Selama perang dengan bangsa Romawi, yang dikenal dengan perang punik kedua, Archimedes kembali berjasa besar. Archimedes mendesain sejumlah alat pertahanan untuk mencegah pasukan Romawi di bawah pimpinan Marcus Claudius Marcellus, merebut Syracuse.

Saat armada Romawi yang terdiri dari 120 kapal mulai tampak di cakrawala Syracuse. Archimedes berfikir keras untuk mencegah musuh merapat dipantai. Archimedes kemudian mencoba membakar kapal-kapal Romawi ini dengan menggunakan sejumlah cermin yang disusun dari perisai-perisai prajurit Syracuse. Archimedes berencana untuk membakar kapal-kapal musuh dengan memusatkan sinar matahari. Namun rencana ini tampaknya kurang berhasil. Hal ini disebabkan untuk memperoleh jumlah panas yang cukup untuk membakar sebuah kapal, kapal tersebut haruslah diam.

Walaupun hasilnya kurang memuaskan, dengan alat ini Archimedes berhasil menyilaukan pasukan Romawi hingga mereka kesulitan untuk memanah. Panas yang ditimbulkn dengan alat ini juga berhasil membuat musuh kegerahan, hingga mereka lelah sebelum berhadapan dengan pasukan Syrcuse.

Saat musuh mulai mengepung pantai Syracuse, Archimedes kembali memutar otak. Tujuannya kali ini adalah mencari cara untuk menenggelamkan kapal-kapal Romawi ini. Archimedes kemudian menciptakan alat yang disebut cakar Archimedes. Alat ini bentuknya mirip derek pada masa kini. Setelah alat ini secara diam-diam dikaitkan ke badan kapal musuh, derek ini kemudian ditarik. Akibanya kapal musuh akan oleng, atau bahkan robek dan tenggelam.

Selain kedua alat ini Archimedes juga mengembangkan ketapel dan balista untuk melawan pasukan Romawi. Namun sayangnya walaupun didukung berbagai penemuan Archimedes, Syracuse masih kalah kuat dibandingkan pasukan Romawi. Archimedespun akhirnya terbunuh oleh pasukan Romawi. Saat tewas Archimedes sedang mengerjakan persoalan geometri dengan menggambarkan lingkaran-lingkaran di atas tanah. Sebelum dibunuh ia meneriaki pasukan Romawi yang lewat "Jangan ganggu lingkaranku!!!

Sumber:

Liveconnector

Wikipedia

Tokoh Matematika - Euclides

Euklides (hidup sekitar abad ke-4 SM) ialah matematikawan dari Alexandria.
Dalam bukunya yang berjudul Elemen, ia - sebagai bapak geometri - mengemukakan teori bilangan dan geometri. Menurutnya satu hal yang paling penting untuk dicatat, bahwa dalam pembuktian teorema-teorema geometri tak diperlukan adanya contoh dari dunia nyata tetapi cukup dengan deduksi logis menggunakan aksioma-aksioma yang telah dirumuskan.

Tokoh Matematika - Euclides

Euclides menulis 13 jilid buku tentang geometri. Dalam buku-bukunya ia menyatakan aksioma (pernyataan-pernyataan sederhana) dan membangun semua dalil tentang geometri berdasarkan aksioma-aksioma tersebut. Contoh dari aksioma Euclides adalah, "Ada satu dan hanya satu garis lurus garis lurus, di mana garis lurus tersebut melewati dua titik". Buku-buku karangannya menjadi hasil karya yang sangat penting dan menjadi acuan dalam pembelajaran Ilmu Geometri.

Bagi Euclides, matematika itu penting sebagai bahan studi dan bukan sekedar alat untuk mencari nafkah. Ketika ia memberi kuliah geometri pada raja, baginda bertanya, "Tak adakah cara yang lebih mudah bagi saya untuk mengerti dalam mempelajari geometri?". Euclides menjawab, "Bagi raja tak ada jalan yang mudah untuk mengerti geometri. Setiap orang harus berpikir ke depan tentang dirinya apabila ia sedang belajar".



Sumber:

Wikipedia.org

Tokoh Matematika - Fibonacci

Perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan.

Tokoh Matematika - Fibonacci 

Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.

Mengarang buku
Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan – apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.

Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.

Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.

“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”

- Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.
- Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.
- Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.
- Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.

Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075.

Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.

Deret Fibonacci
Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat adalah Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci – tidak mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda – yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang Islam dan menjadi matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya. Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …

Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.

Kaitan dengan nisbah emas
Nisbah emas sudak dikenal sejak jaman Pythagoras. Disebutkan bahwa alam tampaknya diatur oleh nisbah emas. “Kesaktian” nisbah ini mendasari arsitektur bangunan jaman dahulu, khususnya di Yunani. Bentangan pilar dan tinggi Panthenon merupakan perbandingan hasil nisbah emas.
Perhatikan hasil pembagian bilangan-bilangan pada deret Fibonacci di bawah ini.

1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; 144/89…

Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil pembagian menunjukkan sesuatu yang istimewa sehingga disebut dengan seksi emas (golden section). Nama ini mirip dengan nisbah emas. Memang ada hubungan erat antara seksi emas dan nisbah emas seperti dapat dilihat pada tabel dan gambar di bawah ini.

 

Deret 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Pembagi 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
Hasil 1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,615 1,619 1,617 1,618 1,618

Barangkali kenyataan ini mampu menjawab pertanyaan mengapa deret Fibonacci mendekati nisbah emas.

Ambil contoh dua bilangan: a, b, a+b (deret Fibonacci) dan b/a (nisbah emas) kemudian diperbandingkan

b/a ≈ (a+b)/b
b/a (nisbah emas) ≈ a/b + 1 (seksi emas)

Substitusikan nisbah emas dengan notasi Φ (phi) untuk persamaan di atas.

Φ = 1/Φ + 1 (kalikan ruas kiri dan kanan dengan F) hasil:
Φ² - Φ – 1 = 0

Φ = (1+ √5)/2 ≈ 1,618

Revolusi Fibonacci
Topik dalam buku Liber abaci juga menjelaskan proses aritmatik, termasuk cara mencari akar bilangan. Problem-problem dalam buku ini lebih ditekankan untuk penggunaan dalam transaksi perdagangan, sistem pecahan untuk menghitung pertukaran mata uang. Fibonacci menggunakan pecahan – biasa, bilangan berbasis enam puluh (seksadesimal) dan satuan – bukan bilangan berbasis sepuluh (desimal). Penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12. Dia juga menempatkan bilangan pecahan berupa komponen-kompenen yang belum dijumlah. Penulisan 115/6, sebagai contoh, ditulis dengan 1/3 ½ 11. Tidak puas dengan kebingungan ini pecahan satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100, sebagai contoh, dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis dengan 1/25 1/5 ¼ ½.

Sumbangsih
Mengenalkan angka nol dan menghitung pola-pola alam tidak lazim sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke dunia Barat adalah sumbangsih terbesar Fibonacci. Mampu menciptakan deret Fibonacci yang memberi jawaban atau alasan tentang pola alam seperti yang dijabarkan dalam nisbah emas. Adopsi angka nol untuk penulisan dan melakukan perhitungan di Eropa – mengubah sistem bilangan Romawi yang tidak efisien – dengan sistem bilangan Hindu-Arabik ini kelak sangat mempengaruhi perkembangan matematika di benua Eropa. Sistim bilangan pecahan Fibonacci yang rumit, kemudian disederhanakan untuk kepentingan perdagangan. Perhatikanlah perubahan harga saham-saham yang diperdagangkan di Wall Street menggunakan sistem pecahan.


Referensi :
Matematikaku

Tokoh Matematika - Al-Khawarizmi

Muhammad bin Musa Al-Khawarizmi atau lebih dikenal Al-Khawarizmi lahir sekitar tahun 780 di Khwārizm. Sekarang Khawarizm adalah kota Khiva di Uzbekistan Asia Tengah. Kalau hari tanggal dan bulan lahirnya belum saya temukan secara pasti bro... Lanjuuut...Al-Khawarizmi wafat alias meninggal dunia sekitar tahun 850. Ia adalah tokoh yang sangat terkenal di dunia sebagai ahli matematika, astronomi,astrologi dan geografi dan kartografi. Hampir seluruh hidupnya, diabdikan di Sekolah Kehormatan di Baghdad (Iraq). Saat itu Iraq adalah sebuah imperium dan kekuatan adidaya kayak Amerika sekarang. Baghdad menjadi pusat ilmu dan perdagangan.Banyak pedagang dan ilmuwan dari Cina dan India berkelana ke kota ini, yang juga dilakukan beliau. Dia bekerja di Baghdad pada Sekolah Kehormatan yang didirikan oleh Khalifah Bani Abbasiyah Al-Ma'mun, tempat ia belajar ilmu alam dan matematika, termasuk mempelajari terjemahan manuskrip Sanskerta dan Yunani.

Tokoh Matematika - Al-Khawarizmi

Karya Al-Khawarizmi

1. Karya Al-Khawarizmi yang pertama adalah kitab al-Jabar yang dipublikasikan tahun 830 M. Nama Al-Jabar berasal dari al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala atau: "Buku Rangkuman untuk Kalkulasi dengan Melengkapkan dan Menyeimbangkan”, buku ini diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12. Buku ini menjelaskan secara detil mengenai solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Buku Al-jabar dijadikan rujukan dan dipakai secara luas diseluruh dunia (termasuk di Indonesia tentunya) dari mulai dipublikasikan hingga sekarang. Nah karena jasanya Al-Khawarizmi dikenang dunia sebagai Bapak Aljabar.
2. Karya beliau adalah buku Dixit algorizmi. Karya spektakuler ini isinya tentang ilmu aritmatika. Namun sayang karya asli yang berbentuk bahasa arab ternyata sampai saat ini tidak ditemukan alias hilang. Dixit algiruzmi adalah terjemahan dari kitab Al-Khawarizmi yang dilakukan dilakukan pada abad ke-12 oleh Adelard of Bath. Pada buku Dixit algorizmi (ditulis tahun825) kalkulasi dengan angka Hindu memprinsipkan kemampuan difusi angka India ke dalam per angkaan timur tengah dan kemudian Eropa. Buku beliau diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, Algoritmi de numero Indorum.
3. Buku ketiga beliau yang terkenal adalah Kitab Surat Al-Ardhi atau "Buku Pemandangan Dunia" atau "Kenampakan Bumi" diterjemahkan selanjutnya lebih dikenal dengan Geography. Kitab ini selesai dibuat padatahun 833. Kitab ini adalah revisi dan penyempurnaan konsep Geografi Ptolemeus, terdiri dari daftar 2402 koordinat kota-kota dan tempat geografis lainnya didunia. Naskah asli kitab ini masih tersisa satu dan tersimpan di perpustakaan Universitas Strasbourg Prancis. Terjemahan Latinnya tersimpan di Biblioteca Nacional de España di Madrid. Judul lengkap buku beliau adalah Buku Pendekatan Tentang Dunia, dengan Kota-Kota, Gunung, Laut, Semua Pulau dan Sungai, ditulis oleh Abu Ja’far Muhammad bin Musa al-Khawarizmi berdasarkan pendalaman geografis yamg ditulis oleh Ptolemeus dan Claudius. Buku ini dimulai dengan daftar bujur dan lintang, termasuk “Zona Cuaca”, yang menulis pengaruh lintang dan bujur terhadap cuaca. Oleh Paul Gallez, dikatakan bahwa ini sanagat bermanfaat untuk menentukan posisi kita dalam kondisi yang buruk untuk membuat pendekatan praktis. Baik dalam salinan Arab maupun Latin, tak ada yang tertinggal dari buku ini. Oleh karena itu, Hubert Daunicht merekonstruksi kembali peta tersebut dari daftar koordinat. Ia berusaha mencari pendekatan yang mirip dengan peta tersebut.
4. Buku keempat beliau adalah kitab Zij al-sindhind (tabel astronomi) adalah karya yang terdiri dari 37 simbol pada kalkulasi kalender astronomi dan 116 tabel dengan kalenderial, astronomial dan data astrologial sebaik data yang diakui sekarang. Versi aslinya dalam Bahasa Arab (ditulis 820) hilang, tapi versi lain oleh astronomer Spanyol Maslama al-Maritli (1000) tetap bertahan dalam bahasa Latin, yang diterjemahkan oleh Adelard of Bath (26 Januari 1126). Empat manuskrip lainnya dalam bahasa Latin tetap ada di Bibliothèque publique (Chartres), the Bibliothèque Mazarine (Paris), the Bibliotheca Nacional (Madrid) dan the Bodleian Library (Oxford).
5. Al-Khawarizmi juga menulis tentang Penanggalan Yahudi Risala fi istikhraj taʾrikh al-yahud (Petunjuk Penanggalan Yahudi). Buku ini menerangkan 19-tahun siklus interkalasi, hukum yang mengatur bulan Tishri dimulai; memperhitungkan interval antara Era Yahudi (penciptaan Adam) dan era Seleucid ; dan memberikan hukum tentang bujur matahari dan bulan menggunakan Kalender Yahudi. Sama dengan yang ditemukan oleh al-Biruni dan Maimonides
6. Karya lain Al-Khawarizmi yaitu beberapa manuskrip Arab di Berlin, Istanbul, Tashkent, Kairo dan Paris berisi pendekatan material. Manuskrip di Istanbul berisi tentang sundial, yang disebut dalam Fihirst. Karya lain, seperti determinasi arah Mekkah adalah salah satu astronomi sferik.Dua karya berisi tentang pagi (Ma’rifat sa’at al-mashriq fī kull balad) dan determinasi azimut dari tinggi (Ma’rifat al-samt min qibal al-irtifā’). Beliau juga menulis 2 buku tentang penggunaan dan perakitan astrolaboratorium. Ibnu al-Nadim dalam Kitab al-Fihrist (sebuah indeks dari bahasa Arab) juga menyebutkan Kitab ar-Rukhama dan Kitab al-Tarikh (buku sejarah) tapi 2 yang terakhir disebut telah hilang.

Hanya satu kata yang bisa kuucapkan....Luarrrr biasaa. ilmuwan kita ini... semoga kita bisa mengambil tauladan dan inspirasi dari seorang Al-Khawarizmi.

Referensi:

Biografi tokoh dunia

Tokoh Matematika - John Napier

John Napier, ahir di puri Merchiston, dekat Edinburgh, Skotlandia. Anak Sir Archibald Napier dari istri pertama, Janet Bothwell. Ketika umur 14 tahun, Napier dikirim ke universitas St. Andrews untuk belajar theologi. Setelah berkelana ke mancanegara, Napier pulang ke kampung halaman pada tahun 1571 dan menikah dengan Elizabeth Stirling dan mempunyai dua orang anak. Tahun 1579, istrinya meninggal dan menikah lagi dengan Agnes Chisholm. Perkawinan kedua ini memberinya sepuluh orang anak.

Tokoh Matematika - John Napier

Anak kedua dari istri kedua, Robert, kelak menjadi penterjemah karya-karya ayahnya. Sir Archibald meninggal pada tahun 1608 dan John Napier menggantikannya, tinggal di puri Merchiston sepanjang hayatnya.

Napier bukanlah matematikawan profesional. Berkewarganegaan Skotlandia, dia adalah seorang Baron yang tinggal di Murchiston dan memiliki banyak tanah namun juga mempunyai hobi menulis berbagai topik yang menarik hatinya. Dia hanya tertarik meneliti salah satu aspek dalam matematika, teristimewa yang berhubungan dengan perhitungan dan trigonometri. Istilah “kerangka Napier” (Napier frame) menunjuk kepada tabel-tabel perkalian dan “Analogi Napier” dan “Hukum bagian-bagian lingkaran Napier” adalah alat bantu untuk mengingat dalam kaitannya dengan trigonometri lingkaran. Napier mengatakan bahwa penelitian dan penemuannya tentang logaritma terjadi dua-belas tahun silam sebelum dipublikasikan. Pernyataan ini menunjuk bahwa ide dasarnya terjadi pada tahun 1594. Meskipun ditemukan oleh Napier akan tetapi ada peran pendahulunya. Stifel menulis Arithmetica integra pada 50 tahun silam dengan pedoman karya-karya Archimedes. Angka dengan pangkat dua adalah dasarnya, meski tidak dapat digunakan untuk tujuan penghitungan karena ada selisih yang terlalu besar dan cara interpolasi tidak memberikan hasil secara akurat.

Pengaruh pemikiran Dr. John Craig tidak dapat dikesampingkan, mempengaruhi John Napier. Pertemuan tidak sengaja terjadi ini, terjadi saat rombongan Craig dalam perjalanan menuju Denmark dengan menggunakan kapal, terjadi badai besar sehingga membuat rombongan ini berhenti tidak jauh dari observatorium Tycho Brahe, tidak jauh dari tempat Napier. Sambil menunggu badai reda, mereka berdiskusi tentang cara-cara penghitungan yang digunakan dalam observatorium. Diskusi ini membuat Napier lebih termotivasi sehingga pada tahun 1614 diterbitkan buku Gambaran tentang aturan dalam logaritma (A Description of the Marvelous Rule of Logaritms).

Logaritma

Awal penemuan Napier tentang sebenarnya sangat sederhana. Menggunakan progresi geometrik dan integral secara bersamaan. Ambillah sebuah bilangan tertentu yang mendekati angka 1. Napier menggunakan 1 – 107 (atau 0,9999999) sebagai bilangan. Sekarang, istilah progresi dari pangkat yang terus meningkat sampai akhirnya hasilnya mendekati – sangat sedikit selisihnya. Untuk mencapai “keseimbangan” dan menghindari terjadi (bilangan) desimal dikalikan dengan 107.

N = 107(1 – 1/107)L, dimana L adalah logaritma Napier sehingga logaritma dari 107 sama dengan nol, yaitu: 107 (1-1/107) = 0,9999999 adalah 1 dan seterusnya. Apabila bilangan tersebut dan logaritma dibagi 107, akan ditemukan - secara virtual – sistem logaritma sebagai basis 1/e, untuk (1-1/107)107 mendekati Lim n→∞ (1 – 1/n)n = 1/e.

Perlu diingat bahwa Napier tidak mempunyai konsep logaritma sebagai dasar, seperti yang kita ketahui sekarang. Prinsip-prinsip kerja Napier akan lebih jelas dengan menggunakan konsep geometri di bawah ini.

A___________________P____________B___________________

C_______________________D__________Q_______________________E

Garis AB adalah setengah dari garis CE. Bayangkan titik P berangkat dari titik A, berjalan menyusur garis AB dengan kecepatan semakin menurun dengan proporsi sebanding dengan jaraknya dari titik B; pada saat bersamaan titik Q bergerak dari garis CE… dengan kecepatan bergerak sama seperti titik P. Napier menyebut variabel jarak CQ adalah logaritma dari jarak PB adalah difinisi geometrik Napier. Misal: PB = x dan CQ = y. Apabila AB dianggap 107, dan jika kecepatan bergeraknya P juga 107, maka dalam notasi kalkulus modern didapat dx/dt = -x dan dy/dt = 107, x0 = 107, y0 = 0. Jadi dy/dx = - 107/x, atau y = -107 ln cx, dimana c adalah inisial kondisi untuk menjadi 10-7. Hasil, y = -107 ln (x/107) atau y/107 = log 1/e(x/107).

Sifat Eksentrik

Meskipun Napier memberi sumbangsih besar dalam bidang matematika, tetapi minat terbesar Napier justru bidang agama. Dia seorang pemeluk Protestan kuat yang menuliskan pandangannya dalam buku Penjelasan tentang penemuan dari kebangkitan Santo Johanes (A Plaine Discovery of the whole Revelation of Saint John (1593), yang dengan sengit menyerang gereja Katholik dan mencerca Raja orang Skotlandia, James VI (kelak menjadi James I, raja Inggis) dengan menyebutnya seorang atheis.

Bidang lain yang menjadi minat Napier, seorang tuan tanah, adalah mengelola tanah pertanian. Untuk meningkatkan kesuburan tanah, Napier mencoba memberi pupuk berupa garam. Tahun 1579, Napier menemukan pompa hidraulik untuk menaikkan air dari dalam sumur. Dalam bidang militer, Napier berencana membuat cermin raksasa guna melindungi Inggris dari serbuan angkatan laut Raja Philip II dari Spanyol. Kedua penemuan Napier ini tidak berbeda dengan penemuan Archimedes.

Ada anekdot, bahwa sebagai seorang tuan tanah, Napier sering berseteru dengan para penyewa (tanah) dan tetangganya. Suatu peristiwa, Napier merasa terganggu oleh burung merpati tetangga yang dirasanya sudah keterlaluan. Ancaman bahwa merpati akan ditangkapi tidak ditanggapi tetaangganya, karena merasa yakin bahwa Napier tidak mungkin menangkapi semua merpati. Esok harinya, tetangga itu kaget menjumpai semua merpatinya menggelepar – belum mati – terpuruk di depan rumah. Rupanya Napier telah memberi makan jagung yang terlebih dahulu sudah direndam dengan anggur.

Jasa Terakhir

Begitu buku pertama diterbitkan, antusiasme matematikawan merebak sehingga banyak dari mereka berkunjung ke Edinburgh. Salah satu tamu adalah Henry Briggs (1516 – 1631), dimana pada saat pertemuan itu Briggs memberitahu Napier tentang modifikasi yang dilakukan. Mengubah basis logaritma menjadi 1, bukan 107, hasilnya adalah nol dan menggunakan basis 10 (desimal). Akhirnya ditemukan log 10 = 1 = 10º.

Napier meninggal di purinya pada tanggal 3 April 1617, dan dimakamkan di gereja St. Cuthbert, Edinburgh. Dua tahun kemudian, 1619, terbit buku Konstruksi dari keindahan logaritma (Construction of the wonderful logarithms), yang disusun oleh Robert, anak.

Sumbangsih

Menemukan konsep dasar logaritma, sebelum terus dikembangkan oleh matematikawan lain – terutama Henry Briggs - sehingga dapat memberi manfaat. Penemuan ini membawa perubahan besar dalam matematika. Johannes Kepler terbantu, karena dengan logaritma, mampu meningkatkan kemampuan hitung bagi para astronomer. “Kesaktian” logaritma ini kemudian disebut oleh [Florian] Cajori sebagai salah satu dari tiga penemuan penting bagi matematika (dua lainnya adalah notasi angka Arab dan pecahan berbasis sepuluh/desimal).

Referensi :

Matematikaku 

Tokoh Matematika - Pythagoras

Pythagoras Mnesarchus Lahir di sekitar tahun 569 BC di Samos, Ionia dan meninggal pada tahun 475 BC. Pythagoras dari Samos seringkali digambarkan sebagai seorang matematikawan murni. Dia adalah tokoh yang sangat penting dalam pengembangan matematika, namun kita tahu persis prestasi dalam bidang matematika. Tidak seperti banyak matematikawan Yunani, dimana buku-buku mereka tulis. Pythagoras merupakan tokoh misterius.

Tokoh Matematika - Pythagoras

Ayah Pythagoras Mnesarchus, sementara ibunya adalah Pythais dan dia adalah penduduk asli Samos. Mnesarchus adalah seorang pedagang yang datang dari Tyre, menurut cerita ia pernah membawa jagung ke Samos pada waktu kelaparan dan diberikan kewarganegaraan dari Samos sebagai tanda terima kasih. Sebagai anaknya Pythagoras menghabiskan awal tahun di Samos tetapi banyak melakukan perjalanan dengan ayahnya.

Sedikit yang diketahui tentang Pythagoras. Semua penampilan fisiknya mungkin fiktif kecuali gambaran yang mengesankan Pythagoras yang memiliki tahi lalat pada paha. Mungkin dia mempunyai dua saudara laki-laki meskipun beberapa sumber mengatakan ada tiga. Tentu dia dididik dengan baik, belajar untuk memutar lyre, belajar puisi dan bacakanlah Homer. Terdapat tiga filosof yang mempengaruhi Pythagoras ketika ia seorang anak muda. Salah satu yang paling penting adalah Pherekydes yang banyak menjelaskan sebagai guru dari Pythagoras.

Dua filosof lain yang mempengaruhi Pythagoras, dan untuk memperkenalkannya ide matematika, adalah Thales dan Anaximander murid yang baik tinggal di Miletus. Dikatakan bahwa Pythagoras pernah berkunjung di Miletus Thales ketika dia antara 18 dan 20 tahun. Saat ini Thales adalah orang tua meskipun ia membuat kesan kuat pada Pythagoras, ia mungkin tidak mengajarkan kepadanya banyak sekali. Namun dia memberikan kontribusi ke Pythagoras minat matematika dan astronomi, dan dia disarankan untuk melakukan perjalanan ke Mesir untuk mempelajari beberapa mata pelajaran.  Anaximander memang telah tertarik geometri dan kosmologi dan banyak orang akan mempengaruhi ide Pythagoras.

Sekitar 535 SM Pythagoras pergi ke Mesir. Hal ini terjadi beberapa tahun setelah firaun Polycrates azab kontrol kota Samos. Ada beberapa bukti yang menunjukkan bahwa Pythagoras dan Polycrates yang ramah di depan dan itu diklaim Pythagoras yang pergi ke Mesir dengan surat pengantar yang ditulis oleh Polycrates. Polycrates sebenarnya memiliki persekutuan dengan Mesir dan oleh karena itu terdapat hubungan kuat antara Samos dan Mesir saat ini.

Pythagoras melakukan perjalanan ke Crete segera setelah kembali ke Samos untuk belajar sistem hukum di sana. Di Samos ia mendirikan sekolah yang disebut setengah lingkaran.

Pythagoras meninggalkan Samos dan pergi ke selatan Italia sekitar 518 SM (beberapa mengatakan banyak sebelumnya). Iamblichus memberikan beberapa alasan untuk meninggalkan dia. Pertamakomentar dia pada Samian tanggapan atas metode: –

… ia mencoba untuk menggunakan metode simbolis kepada pengajaran yang sama dalam segala hal ke pelajaran dia belajar di Mesir. Samians yang sangat tidak tertarik untuk metode ini dan dia dirawat di rude dan penanganan yang tepat.

Hal ini, menurut Iamblichus, sebagian digunakan sebagai alasan untuk Pythagoras meninggalkan Samos: –

… Pythagoras telah menyeret ke dalam semua jenis misi diplomatik dengan sesama warga dan dipaksa untuk berpartisipasi dalam urusan publik. … Dia tahu bahwa semua filosof sebelum dia telah berakhir pada hari mereka asing tanah sehingga ia memutuskan untuk melepaskan diri tanggung jawab semua politik, alleging sebagai alasan, menurut beberapa sumber, yang hina yang telah Samians untuk metode.

Pythagoras mendirikan suatu falsafah dan agama di sekolah Croton (sekarang Crotone, di sebelah timur dari tumit sebelah selatan Italia) yang memiliki banyak pengikutnya. Pythagoras adalah ketua masyarakat dengan inti dari lingkaran pengikutnya dikenal sebagai mathematikoi. Mathematikoi yang tinggal secara permanen dengan Masyarakat, tidak memiliki harta pribadi dan Vegetarians. Mereka diajar oleh Pythagoras dirinya ketat dan taat aturan. Kepercayaan yang telah diselenggarakan Pythagoras:

(1) yang pada tingkat deepest, matematika adalah kenyataan di alam,

(2) filosofi yang dapat digunakan untuk pemurnian rohani,

(3) jiwa yang dapat menimbulkan kesatuan dengan Tuhan,

(4) simbol tertentu yang memiliki kepentingan mistik, dan

(5) bahwa semua saudara-saudara dari urutan harus memperhatikan ketat loyalitas dan rahasia.

Laki-laki dan perempuan yang diizinkan untuk menjadi anggota Serikat, bahkan beberapa wanita Pythagoreans kemudian menjadi filosof terkenal. Di luar lingkaran dari Masyarakat yang dikenal sebagai akousmatics dan mereka tinggal di rumah mereka sendiri, hanya datang ke Masyarakat sepanjang hari. Mereka boleh harta mereka sendiri dan tidak perlu Vegetarians.

Pythagoras yang sebenarnya tidak dikenal. Sekolahnya dipraktikkan dan komunalisme rahasia sehingga sulit untuk membedakan antara karya Pythagoras dan bahwa orang pengikutnya. Pasti dia sekolah dibuat beredar kontribusi kepada matematika, dan sangat mungkin akan cukup tertentu tentang beberapa Pythagoras kontribusi dari matematika. Pertama kita harus jelas apa arti Pythagoras dan mathematikoi yang belajar matematika. Mereka bukan sebagai matematika penelitian tidak dalam grup modern universitas atau lembaga lainnya. Tidak ada ‘buka masalah’ bagi mereka untuk memecahkan, dan mereka tidak ada dalam rasa tertarik untuk mencoba merumuskan atau memecahkan permasalahan matematis.

Pythagorastidak tertarik dengan prinsip-prinsip matematika, konsep angka, konsep sebuah segitiga atau angka lainnya matematika dan gagasan abstrak dari bukti. Pythagoras percaya bahwa semua hubungan dapat dikurangi ke nomor mitra.

Ini dari generalisation stemmed Pythagoras dari pengamatan di musik, matematika dan astronomi. Pythagoras bahwa vibrating string menghasilkan nada harmonis bila ratios of the lengths of the strings adalah seluruh nomor, dan bahwa berbagai bentuk ratios dapat meluas ke instrumen lainnya. Bahkan Pythagoras patut dilakukan kepada matematika teori musik. Ia adalah seorang musisi halus, pemutaran lyre, musik dan ia digunakan sebagai alat untuk membantu orang-orang yang sakit.

Setiap nomor memiliki kepribadian – maskulin atau feminine, sempurna atau tidak lengkap, cantik atau jelek. Matematika modern ini merasa telah sengaja dihilangkan, namun kita masih menemukan nada yang di fiksi dan puisi. Sepuluh adalah yang terbaik nomor: ia sendiri yang pertama empat integers – satu, dua, tiga, empat dan [1 + 2 + 3 + 4 = 10] – dan ini ditulis dalam notasi titik membentuk sebuah segitiga sempurna.

Tentu saja hari ini kita ingat khususnya bagi yang terkenal Pythagoras theorem geometri. Meskipun theorem, sekarang dikenal sebagai Pythagoras theorem’s, dikenal dengan Babilon awal tahun 1000 ia telah menjadi satu untuk membuktikan itu.

Sumber:

Biographies Pythagoras

Tokoh Matematika - Umar Khayyam

‘Umar Khayyām (18 Mei 1048 – 4 Desember 1131, dalam bahasa Persia عمر خیام), dilahirkan di Nishapur, Iran. Nama aslinya adalah Ghiyātsuddin Abulfatah ‘Umar bin Ibrahim Khayyāmi Nisyābūri (غياث الدين ابو الفتح عمر بن ابراهيم خيام نيشابوري). Khayyām berarti “pembuat tenda” dalam bahasa Persia.

Tokoh Matematika - Umar Khayyam

Sang matematikawan

Pada masa hidupnya, ia terkenal sebagai seorang matematikawan dan astronom yang memperhitungkan bagaimana mengoreksi kalender Persia. Pada 15 Maret 1079, Sultan Jalaluddin Maliksyah Saljuqi (1072-1092) memberlakukan kalender yang telah diperbaiki Umar, seperti yang dilakukan oleh Julius Caesar di Eropa pada tahun 46 SM dengan koreksi terhadap Sosigenes, dan yang dilakukan oleh Paus Gregorius XIII pada Februari 1552 dengan kalender yang telah diperbaiki Aloysius Lilius (meskipun Britania Raya baru beralih dari Kalender Julian kepada kalender Gregorian pada 1751, dan Rusia baru melakukannya pada 1918).

Dia pun terkenal karena menemukan metode memecahkan persamaan kubik dengan memotong sebuah parabola dengan sebuah lingkaran.

Sang astronom

Pada 1073, Malik-Syah, penguasa Isfahan, mengundang Khayyām untuk membangun dan bekerja pada sebuah observatorium, bersama-sama dengan sejumlah ilmuwan terkemuka lainnya. Akhirnya, Khayyām dengan sangat akurat (mengoreksi hingga enam desimal di belakang koma) mengukur panjang satu tahun sebagai 365,24219858156 hari.

Ia terkenal di dunia Persia dan Islam karena observasi astronominya. Ia pernah membuat sebuah peta bintang (yang kini lenyap) di angkasa.

Umar Khayyām dan Islam

Filsafat Umar Khayyām agak berbeda dengan dogma-dogma umum Islam. Tidak jelas apakah ia percaya akan kehadiran Allah atau tidak, namun ia menolak pemahaman bahwa setiap kejadian dan fenomena adalah akibat dari campur tangan ilahi. Ia pun tidak percaya akan Hari Kiamat atau ganjaran serta hukuman setelah kematian. Sebaliknya, ia mendukung pandangan bahwa hukum-hukum alam menjelaskan semua fenomena dari kehidupan yang teramati. Para pejabat keagamaan berulang kali meminta dia menjelaskan pandangan-pandangannya yang berbeda tentang Islam. Khayyām akhirnya naik haji ke Mekkah untuk membuktikan bahwa ia adalah seorang muslim.

Omar Khayyam, sang skeptik

Dan, sementara Ayam Jantan berkokok, mereka yang berdiri di muka / Rumah Minum berseru – “Bukalah Pintu! / Engkau tahu betapa sedikit waktu yang kami punyai untuk singgah, / Dan bila kami pergi, mungkin kami takkan kembali lagi.”

Demikian pula bagi mereka yang bersiap-siap untuk HARI INI, / Dan meyangka setelah ESOK menatap, / Seorang muazzin berseru dari Menara Kegelapan / “Hai orang bodoh! ganjaranmu bukan di Sini ataupun di Sana!”

Mengapa, semua orang Suci dan orang Bijak yang mendiskusikan / Tentang Dua Dunia dengan begitu cerdas, disodorkannya / Seperti Nabi-nabi bodoh; Kata-kata mereka untuk Dicemoohkan / Ditaburkan, dan mulut mereka tersumbat dengan Debu.

Oh, datanglah dengan Khayyam yang tua, dan tinggalkanlah Yang Bijak / Untuk berbicara; satu hal yang pasti, bahwa Kehidupan berjalan cepat; / Satu hal yang pasti, dan Sisanya adalah Dusta; / Bunga yang pernah sekali mekar, mati untuk selama-lamanya.

Diriku ketika masih muda begitu bergariah mengunjungi / Kaum Cerdik pandai dan Orang Suci, dan mendengarkan Perdebatan besar / Tentang ini dan tentang: namun terlebih lagi / Keluar dari Pintu yang sama seperti ketika kumasuk.

Dengan Benih Hikmat aku menabur, / Dan dengan tanganku sendiri mengusahakannya agar bertumbuh; / Dan cuma inilah Panen yang kupetik – / “Aku datang bagai Air, dan bagaikan Bayu aku pergi.”

Ke dalam Jagad ini, dan tanpa mengetahui, / Entah ke mana, seperti Air yang mengalir begitu saja: / Dan dari padanya, seperti Sang Bayu yang meniup di Padang, / Aku tak tahu ke mana, bertiup sesukanya.

Jari yang Bergerak menulis; dan, setelah menulis, / Bergerak terus: bukan Kesalehanmu ataupun Kecerdikanmu / Yang akan memanggilnya kembali untuk membatalkan setengah Garis, / Tidak juga Air matamu menghapuskan sepatah Kata daripadanya.

Dan Cawan terbalik yang kita sebut Langit, / Yang di bawahnya kita merangkak hidup dan mati, / Janganlah mengangkat tanganmu kepadanya meminta tolong – karena Ia / Bergelung tanpa daya seperti Engkau dan Aku.

Omar Khayyám, penulis dan penyair

Omar Khayyám kini terkenal bukan hanya keberhasilan ilmiahnya, tetapi karena karya-karya sastranya. Ia diyakini telah menulis sekitar seribu puisi 400 baris. Di dunia berbahasa Inggris, ia paling dikenal karena The Rubáiyát of Omar Khayyám dalam terjemahan bahasa Inggris oleh Edward Fitzgerald (1809-1883).

Orang lain juga telah menerbitkan terjemahan-terjemahan sebagian dari rubáiyátnya (rubáiyát berarti “kuatrain”), tetapi terjemahan Fitzgeraldlah yang paling terkenal. Ada banyak pula terjemahan karya ini dalam bahasa-bahasa lain.

Aneka ragam

• Kehidupan Omar digambarkan dalam film tahun 1957 Omar Khayyam dibintangi oleh Cornel Wilde, Debra Page, Raymond Massey, Michael Rennie, dan John Derek.
• Tampil sebagai salah satu tokoh utama dalam novel Samarcande oleh Amin Maalouf.
• Baru-baru ini hidupnya digambarkan oleh sutradara Iran-Amerika Kayvan Mashayekh dalam “The Keeper: the Legend of Omar Khayaam” yang diputar di independent theaters sejak Juni 2005
• Sebuah kawah bulan Omar Khayyam dinamai sesuai dengan namanya pada 1970.
• Sebuah asteroid 3095 Omarkhayyam dinamai sesuai namanya pada 1980.

Referensi

• E.G. Browne. Literary History of Persia. (Empat jilid, 2,256 halaman, ditulis dalam 25 tahun). 1998. ISBN 0-7007-0406-X
• Jan Rypka, History of Iranian Literature. Reidel Publishing Company. ASIN B-000-6BXVT-K

Pranala luar

• (en) Karya-karya Omar Khayyám di Proyek Gutenberg (http://www.gutenberg.org/browse/authors/o#a1787)
• The Rubaiyat (http://classics.mit.edu/Khayyam/rubaiyat.html)
• On Omar’s solutions to cubic equations (http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/Student.Folders/Jones.June/omar/omarpaper.html)
• Khayyam, Umar. A biography by Professor Iraj Bashiri, University of Minnesota. (http://www.angelfire.com/rnb/bashiri/Poets/Khayyam.html)
• Biography by School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Al-Tusi_Sharaf.html)
• The Quatrains of Omar Khayyam (http://www.bardic-press.com/publications/omar.htm)

Sumber: 

Wikipedia

Pembahasan Materi Peluang

Berikut adalah lanjutan materi peluang kelas xi sma yang telah dibahas sebelumnya. Kali ini kita akan belajar mengenai topik peluang yang didalamnya kita akan mengupas masalah peluang suatu kejadian dan juga frekuensi harapan. Silahkan ikuti pembahasan materi peluang dibwah ini

Perhatikan ilustrasi berikut ini!

Sebuah uang logam yang bentuknya simetris ditos (dilempar ke atas sambil diputar) dan dibiarkan jatuh ke lantai. Oleh karena uang itu bentuknya simetris maka tidak beralasan munculnya gambar lebih sering atau kurang daripada munculnya angka. Secara matematika, nilai peluang munculnya gambar adalah salah satu dari dua atau 1/2, dan dengan sendirinya nilai peluang munculnya angka adalah 1/2 juga.

Peluang Suatu Kejadian

Ada 4 hal yang akan dibahas disini mengenai peluang suatu kejadian yaitu kejadian sederhana, ruang sampel, peluang, dan kisaran nilai peluang, keempat hal tersebut sebagai berikut:

1. Kejadian Sederhana

Dalam seperangkat kartu remi terdapat 13 kartu merah bergambar hati, 13 kartu merah bergambar diamond, 13 kartu hitam bergambar wajik, dan 13 kartu hitam bergambar kriting. Sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu tersebut.

Misalkan, kartu yang terambil bergambar hati. Kejadian muncul kartu bergambar hati pada pengambilan tersebut dinamakan kejadian sederhana karena muncul kartu bergambar hati pasti berwarna merah. Lain halnya jika kartu yang terambil berwarna merah. Kejadian muncul kartu berwarna merah dinamakan kejadian bukan sederhana karena muncul kartu berwarna merah belum tentu bergambar hati, tetapi mungkin bergambar diamond.

2. Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S.

Jika sekeping uang logam ditos, akan muncul muka angka (A) atau muka gambar (G). Pada pengetosan tersebut, A dan G dinamakan titik sampel, sedangkan {A, G} dinamakan ruang sampel. Jika sebuah dadu ditos, titik sampelnya adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, sedangkan ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian ruang sampel? Cobalah nyatakan pengertian ruang sampel dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi diatas.

3. Peluang

Misalkan, sekeping uang logam yang bentuknya simetris ditos sebanyak 50 kali, kejadian munculnya muka gambar sebanyak 23 kali sehingga 23/50 = 0, 46 dinamakan frekuensi relatif muncul muka gambar. Jika pengetosan uang logam tersebut dilakukan berulang-ulang dalam frekuensi yang besar, frekuensi relatif kejadian muncul muka gambar akan mendekati suatu bilangan tertentu, yaitu 1/2. Bilangan tersebut dinamakan peluang dari kejadian muncul angka. 

Pada pengetosan sekeping uang logam yang bentuknya simetris, kemungkinan yang muncul hanya dua, yaitu

permukaan gambar dan permukaan angka. Peluang muncul permukaan gambar atau permukaan angka sama. Secara matematika, peluang munculnya permukaan gambar adalah satu dari dua kemungkinan atau 1/2 sehingga peluang munculnya permukaan angka juga 1/2.

Misalkan, sebuah kotak berisi 8 bola, yaitu 3 bola merah, 1 bola putih, dan 4 bola hijau. Dari kotak tersebut, akan diambil sebuah bola. Peluang terambil 1 bola dari kotak yang berisi 8 bola tersebut adalah 1/8. Peluang terambilnya 1 bola merah adalah 3/8. Adapun peluang terambilnya 1 bola putih adalah 1/8, dan peluang terambil 1 bola hijau adalah 4/8.

Diketahui, N adalah banyak titik sampel pada ruang sampel S dari sebuah percobaan. Kejadian A adalah salah satu kejadian pada percobaan tersebut sehingga peluang A adalah P(A) = 1/N.

Apabila banyak kejadian A yang terjadi dari percobaan tersebut adalah n, peluang terjadinya kejadian A adalah P(A) = n/N.

4. Kisaran Nilai Peluang

Di Kelas IX Anda telah mengetahui bahwa nilai peluang suatu percobaan adalah antara 0 dan 1 atau 0 ≤ P(x) ≤ 1 dengan x adalah kejadian pada percobaan tersebut.

- Apabila P(x) = 0, kejadian x mustahil terjadi.

- Apabila P(x) = 1, kejadian x pasti terjadi.

Jadi, jika Anda mengetahui bahwa suatu kejadian kemungkinan kecil terjadi maka peluangnya mendekati

nilai nol. Sebaliknya, jika peluang suatu kejadian yang kemungkinan besar dapat terjadi, peluangnya mendekati nilai 1

Contoh

Tentukan peluang dari pernyataan-pernyataan berikut.

1. Ikan dapat hidup di darat.
2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah.
3. Lumut tumbuh di daerah gurun.

Jawab:

1. Ikan hidup di darat merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.
2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah merupakan suatu kepastian sehingga peluangnya sama dengan 1.
3. Lumut tumbuh di daerah gurun merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.

Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan suatu kejadian ialah frekuensi yang diharapkan terjadinya kejadian tersebut selama n percobaan tersebut. Frekuensi harapan dirumuskan sebagai berikut. 

fH = n × P(A)

Dalam hal ini

n : banyak percobaan

P(A) : peluang terjadinya kejadian A

Anda telah mempelajari bahwa peluang muncul permukaan gambar pada pengetosan uang logam adalah 1/2. Apabila pengetosan dilakukan 100 kali, harapan akan muncul permukaan angka adalah 50 kali atau setengah dari 100. Banyak muncul permukaan angka sebanyak 50 kali dari 100 kali pengetosan dinamakan frekuensi harapan.

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian frekuensi harapan suatu kejadian? Cobalah nyata kan pengertian frekuensi harapan suatu kejadian dengan kata-kata Anda sendiri.

Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi diatas.

Pembahasan Materi Kejadian Majemuk - Matematika

Sebagai lanjutan dari materi peluang sebelumnya berikut akan kita bahas materi tentang kejadian majemuk. Selengkapnya pembahasannya sebagai berikut ini.

Misalkan, pada sebuah kotak terdapat 2 bola merah dan 3 bola hijau. Dari kotak tersebut, Anda akan mengambil 1 buah bola merah dan 1 buah bola hijau. Kejadian terambilnya 1 buah bola merah dan 1 buah bola hijau dinamakan kejadian majemuk.

1. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Diketahui, A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel, sedangkan A’ adalah kejadian bukan A yang juga terdapat pada ruang sampel tersebut. 

Kejadian bukan A atau A’ dinamakan juga komplemen kejadian A. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A), dan peluang komplemen kejadian bukan A dilambangkan dengan P(bukan A) atau P(A’). Amati diagram Venn pada Gambar 2.11. Gambar 2.11 menunjukkan ruang sampel yang terdiri atas kejadian A dan kejadian bukan A. Peluang ruang sampel sama dengan 1 sehingga 

P(A) + P(bukan A) = 1

atau

P(bukan A) = 1 – P(A)

Contoh

Tentukan peluang komplemen dari peluang berikut.

1. Peluang kereta datang terlambat adalah 0,03.
2. Peluang Indra meraih juara kelas adalah 0,25.

Jawab:

1. Komplemen kejadian kereta api datang terlambat adalah kejadian kereta api datang tepat waktu. Peluang kereta api datang tepat waktu adalah (1 – 0,03) = 0,97.
2. Peluang gagal menjadi juara kelas adalah (1 – 0,25) = 0,75.

Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas

Sebuah dadu seimbang dilempar ke atas. Misalkan, A adalah kejadian (kejadian) muncul dadu bermata ganjil dan B adalah kejadian muncul mata dadu genap. Kejadian A dan B merupakan kejadian saling lepas sebab irisan dari dua kejadian tersebut adalah himpunan kosong.

Materi Peluang Kelas XI SMA

Salah satu materi SMA kelas XI adalah pembahasan mengenai peluang. Materi peluang di kelas xi ini merupakan materi lanjutan pada kelas x. Karena luasnya penggunaan konsep peluang dalam kehidupan sehari-hari maka berikut akan kita bahas materi peluang kelas xi sma sebagai informasi tambahan pada pelajaran matematika.

Teori peluang, lahir pada abad pertengahan di Prancis. Saat ini teori peluang banyak digunakan di berbagai bidang, seperti asuransi, bisnis, biologi, olahraga, dan kesehatan. Salah satunya dapat Anda simak pada uraian berikut ini. Dari hasil penelitian di suatu kota "X" terhadap 1.000 anak diperoleh data sebagai berikut.

• Peluang anak yang diberi ASI adalah 90%.
• Peluang anak yang mendapatkan imunisasi campak adalah 60%.
• Peluang anak yang mendapatkan vaksin Polio adalah 80%.

Dengan menggunakan konsep peluang, Anda dapat menentukan anak yang mendapatkan imunisasi Campak
dan vaksin Polio.

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan pada permasalahan menentukan atau mengukur ketidakpastian (kemungkinan). Sebagai contoh seseorang akan melakukan perjalanan dari Mojokerto ke Malang setelah terjadi banjir lumpur di porong Sidoarjo. Untuk menghindari lumpur, orang itu dapat memilih apakah menggunakan jalur alternatif selain jalur utama. Demikian juga pada saat pengumuman kelulusan. Seorang siswa yang menantikan pengumuman mempunyai dua kemungkinan, yaitu lulus atau tidak lulus. Untuk memperdalam materi pada bab ini, pelajarilah kembali materi peluang di kelas IX SMP.

Materi peluang kali ini akan meliputi beberapa topik pembahasan yang berkaitan satu sama lain yaitu sebagai berikut:

1. Kaidah Pencacahan
2. Peluang Suatu Kejadian
3. Kejadian Majemuk

Untuk lebih dalam membahas topik-topik diatas silahkan mengikuti pembahasan lengkapnya dari sub judul diatas.

Rangkuman Materi

Permutasi adalah susunan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan yang mementingkan urutannya.

• Kombinasi adalah susunan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan tidak mementingkan urutannya.
• Frekuensi harapan suatu kejadian ialah harapan banyaknya kejadian yang dapat terjadi dari banyak percobaan yang dilakukan. Frekuensi harapan dirumuskan             Dalam hal ini n : banyak percobaan P(A) : peluang terjadinya kejadian A

Daftar Tokoh Matematika Pria

Daftar Tokoh Matematika Pria. Untuk melengkapi pengetahuan kita mengenai tokoh-tokoh terkemuka dibidang matematika, saya akan mencoba membagikan sebuah daftar tokoh menurut jenis kelaminnya yaitu tokoh matematika pria. Selain daftarnya sobat juga dapat melihat beberapa ulasan mengenai biografi dan juga penemuan dari tokoh matematika pria yang saya bagikan disini, berikut selengkapnya.

Salin Biografi dan Penemuan

Tokoh Matematika Pria

Daftar Tokoh Matematika Pria Terlengkap

Daftar tokoh ini disusun bukan dari penggolongan khusus dan daftar ini bukan dimaksudkan untuk menggolongkah tokoh-tokoh matamatika pria berdasarkan kriteria apapun. Daftar tokoh matematika pria ini dibuat hanya untuk mempermudah para pelajar dalam memahami dan mempelajari sisi baik dari biografi dan kesuksesan mereka. 

Tokoh Matematika Pria

1. Isaac Newton 
2. Archimedes 
3. Carl F. Gauss 
4. Leonhard Euler 
5. Bernhard Riemann 
6. Euclid 
7. Henri Poincaré 
8. Joseph-Louis Lagrange 
9. David Hilbert 
10. Gottfried W. Leibniz 
11. Alexandre Grothendieck 
12. Pierre de Fermat 
13. Niels Abel 
14. Évariste Galois 
15. John von Neumann 

Ternyata dari daftar diatas kita jadi tahu bahwa begitu banyak tokoh-tokoh terkemuka dibidang matematika yang sebelumnya sama sekali tidak kita ketahui. Bersyukur kita masih dapat menemukan beberapa nama diatas beserta ulasan biografi dan juga penemuan mereka yang sangat bermanfaat bagi kehidupan. Semoga menjadi inspirasi kita semua.

Daftar Tokoh Matematika Termuda dan Tertua

Daftar Tokoh Matematika Termuda dan Tertua. Dari daftar tokoh matematika dunia yang telah Tusek susun sebelumnya kali ini saya mencoba meringkas tokoh-tokoh tersebut berdasarkan umur tokoh yaitu tokoh matematika termuda dan tertua. Semoga artikel Tusek kali ini dapat membantu dan memberikan tambahan semangat bagi rekan pelajar semua.

Salin Copy

Biografi Tokoh dan Penemuannya

Tokoh Matematika Termuda Terlengkap

1. Winifred Asprey (1917–2007) 
2. Ruth Aaronson Bari (1917–2005) 
3. Vasanti N. Bhat-Nayak (1938–2009) 
4. Grace Hopper (1906–1992) 
5. Olga Aleksandrovna Ladyzhenskaya (1922–2004) 
6. Olga Arsenievna Oleinik (1925–2001) 
7. Alice T. Schafer (1915–2009) 
8. Esther Szekeres (1910–2005) 
9. Olga Taussky-Todd (1906–1995) 

Tokoh Matematika Tertua

1. Sophie Germain (1776–1831) 
2. Caroline Herschel (1750–1848) 
3. Jessie MacWilliams (1917–1990) 
4. Maria Gaetana Agnesi (1718–1799) 
5. Émilie du Châtelet (1706–1749) 

Jangan lupa untuk melihat ulasan biografi dan penemuan dari tokoh matematika termuda diatas. Untuk melihat ulasannya silahkan pilih tokoh mana yang ingin anda pelajari dari daftar tokoh diatas. Semoga membantu.

Daftar Tokoh Matematika Wanita

Daftar Tokoh Matematika Wanita. Sebelumnya Tusek telah membagikan sebuah daftar tokoh matematika pria dan kali ini Tusek akan mencoba menyajikan satu daftar tokoh matematika wanita yang dapat kita pelajari lebih dalam. Matematikawan wanita ini tidak hanya sangat berjasa tetapi merupakan sumber inspirasi bagi kita generasi muda untuk lebih giat dan melakukan hal-hal berguna bagi kehidupan pribadi maupun masyarakat luas. Berikut selengkapnya daftar tokoh matematika wanita yang dapat saya sajikan.

Salin Copy

Biografi Tokoh dan Penemuannya

Tokoh Matematika Wanita

Wanita-wanita tersebut hebat bukan, nah kenapa kita sebagai generasi tidak mengambil contoh dari mereka yang hebat. Mereka dapat menjadi sumber inspirasi bagi kita para wanita, kalau mereka bisa kenapa kita tidak?

1. Tatyana Afanasyeva (1876–1964) 
2. Maria Gaetana Agnesi (1718–1799) 
3. Grace Alele-Williams (1932– ) 
4. Annie Dale Biddle Andrews (1885–1940) 
5. Winifred Asprey (1917–2007) 
6. Hertha Marks Ayrton (1854–1923) 
7. Nina Bari (1901–1961) 
8. Ruth Aaronson Bari (1917–2005) 
9. Charlotte Barnum (1860–1934) 
10. Lida Barrett (1927– ) [1] 

Agar tidak terlalu membosankan Tusek akan membahas biografi dan penemuan tokoh matematika wanita tersebut di ruangan berbeda. Silahkan ikuti ulasan lengkap tokoh matematika wanita di kelas sebelah ya.

Tokoh Matematika Modern

Tokoh Matematika Modern. Ini adalah pembahasan terakhir Tusek mengenai tokoh matematika dunia, kali ini Tusek akan berbagi mengenai beberapa tokoh matematika modern yang kontribusinya sangat bermanfaat bagi kemajuan ilmu matematika. Silahkan lihat ulasan biografi dan penemuan dari Tokoh Matematika Modern dibawah ini.

Salin Copy

Biografi Tokoh dan Penemuannya

Daftar Tokoh Matematika Modern Terlengkap

1. Winifred Asprey (1917–2007) 
2. Ruth Aaronson Bari (1917–2005) 
3. Vasanti N. Bhat-Nayak (1938–2009) 
4. Grace Hopper (1906–1992) 
5. Olga Aleksandrovna Ladyzhenskaya (1922–2004) 
6. Olga Arsenievna Oleinik (1925–2001) 
7. Alice T. Schafer (1915–2009) 
8. Esther Szekeres (1910–2005) 
9. Olga Taussky-Todd (1906–1995) 

Apa yang dapat kita pelajari dari tokoh-tokoh penemu diatas, tentunya sangat banyak yang dapat kita pelajari baik itu dari motifasi, semangat sampai dengan perjuangan tiada henti untuk mendapatkan penemuan-penemuan bermanfaat bagi umat manusia.

Tokoh Matamatika Dunia: Biografi dan Penemuannya

Tokoh Matamatika Dunia: Biografi dan Penemuannya. Tokoh Matamatika Dunia: Biografi dan Penemuannya. Iseng mencari daftar tokoh matematika dunia ternyata sangat sulit dan hanya beberapa referensi yang saya temui. Saya membayangkan betapa sibuknya jika diberi tugas mencari biografi tokoh dan penemuan dari matematika dunia. Untuk itu saya akan membagikan daftar tokoh matematika lengkap dengan biografi dan penemuan yang didapat oleh tokoh tersebut.

Salin Copy

Biografi Tokoh dan Penemuannya

Daftar Tokoh Matematika (Matematikawan)

Untuk membantu mengerjakan tugas-tugas sekolah yang diberikan kepada rekan pelajar berikut ini saya bagikan beberapa daftar tokoh matematika yang saya coba susun berdasarkan beberapa klasifikasi. Silahkan pelajari beberapa daftar yang dibuat berikut ini:

1. Daftar Tokoh Matematika Dunia Lengkap 
2. Daftar Tokoh Matematika Pria 
3. Daftar Tokoh Matematika Wanita 
4. Daftar Tokoh Matematika Termuda 
5. Daftar Tokoh Matematika Tertua 
6. Daftar Tokoh Matematika Modern 

Biografi dan Penemuan Tokoh Matematika (Matematikawan)

Tak hanya menyusun sebuah daftar tokoh matematika tetapi saya juga akan sedikit memberikan gambaran mengenai beberapa biografi tokoh matematika dan penemuannya. Yang coba saya bagikan ini hanya merupakan beberapa saran sehingga mempermudah dan member gambaran kepada rekan pelajar saat harus berurusan dengan tugas Daftar Tokoh Matamatika Dunia: Biografi dan Penemuannya. Silahkan lihat selengkapnya biografi dan penemuan tokoh matematikawan berikut ini.

1. Biografi dan Penemuan Tokoh Matematika Dunia Lengkap 
2. Biografi dan Penemuan Tokoh Matematika Pria 
3. Biografi dan Penemuan Tokoh Matematika Wanita 
4. Biografi dan Penemuan Tokoh Matematika Termuda 
5. Biografi dan Penemuan Tokoh Matematika Tertua 
6. Biografi dan Penemuan Tokoh Matematika Modern 

Saya tidak akan membahasnya semua dalam satu pertemuan karena akan terlalu panjang dan membosankan. Jika rekan ingin mengulasnya lebih dalam silahkan pilih daftar yang sobat inginkan dan ikuti ulasannya pada ruangan yang telah saya sediakan.

Daftar Tokoh Matematika dan Penemuannya

Daftar Tokoh Matematika dan Penemuannya. Tusek sendiri tidak begitu mengerti dengan manfaat praktis tugas tentang tokoh matematika dan penemuannya ini tetapi setidaknya dengan mempelajari tentang biografi tokoh matematika ini kita dapat belajar bagaimana mereka mendapatkan penemuannya yang sangat berguna bagi kita semua sekarang ini. Untuk alasan itulah Tusek kali ini akan membagikan daftar tokoh matematika dan penemuannya untuk membantu sobat pelajar semua mengerjakan tugas dari sekolah.

Salin Materi

Materi Ini Semuanya

Ada banyak tokoh matematika yang terkenal karena penemuannya, dan kali ini Tusek akan merangkumnya dalam posting ini. Berikut daftar tokoh penemu matematika yang terkenal.

1. Archimedes
2. Euclid
3. Fibonacci
4. Alkhowarismi
5. John Napier
6. Pythagoras
7. Omar Khayyam

Mungkin masih ada tokoh lain yang belum tercantum dalam daftar diatas, karena itu Tusek akan selalu berusaha memperbarui tulisan ini agar dapat memberikan tambahan ilmu dan wawasan bagi rekan pelajar semua. 

Jika rekan pelajar ingin mempelajari tokoh-tokoh diatas, maka Tusek tidak dapat membahas semuanya disini jadi silahkan membahasnya dirumah saja dengan menyalin materi atau membaca langsung dari masing-masing tokoh diatas.

Materi Kaidah Pencacahan - Peluang

Dalam pembahasan materi kaidah pencacahan - yang merupakan bagian dari materi peluang - kita akan membahas beberapa hal terkait kaidah pencacahan. Sebagai ilustrasi, kaidah pencacahan ini merupakan suatu aturan dasar dalam pencacahan dalam kaitannya dengan peluang. Untuk lebih jelasnya silahkan mengikuti pembahasan materi kaidah pencacahan - peluang berikut ini.

Kaidah perkalian yang akan kita bahas kali ini akan meliputi beberapa pembahasan tentang hal-hal sebagai berikut:

• Aturan perkalian 
• Faktorial
• Permutasi
• Kombinasi

Aturan Perkalian

Misalkan

• operasi 1 dapat dilaksanakan dalam n1 cara;

• operasi 2 dapat dilaksanakan dalam n2 cara;

• operasi k dapat dilaksanakan dalam nk cara.

Banyak cara k operasi dapat dilaksanakan secara berurutan adalah n = n1 × n2 × n3 ... × nk.

Berapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih posisi seorang tekong, apit kiri, dan apit kanan dari 15 atlet sepak takraw pelatnas SEA GAMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong adalah pemain sepak takraw yang melakukan sepak permulaan).

Jawab:

Untuk posisi tekong

Posisi tekong dapat dipilih dengan 15 cara dari 15 atlet pelatnas yang tersedia.

Untuk posisi apit kiri

Dapat dipilih dengan 14 cara dari 14 atlet yang ada (1 atlet lagi tidak terpilih karena menjadi tekong).

Untuk posisi apit kanan

Cara untuk memilih apit kanan hanya dengan 13 cara dari 13 atlet yang ada ( 2 atlet tidak dapat dipilih karena telah menjadi tekong dan apit kiri).

Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih posisi dalam regu sepak takraw adalah 15 × 14 × 13 = 2.730 cara.

Ingatlah!

Apabila terdapat n buah tempat yang akan diduduki oleh n orang, terdapat: n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 1

cara orang menduduki tempat tersebut.

Faktorial

Anda telah mempelajari, banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara. Selanjutnya, 3 × 2 × 1 dapat dinyatakan dengan 3! (dibaca 3 faktorial). Jadi, 3! = 3 × 2 × 1 = 6.

Dengan penalaran yang sama

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 4 × 6 = 24

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 5 × 24 = 120

6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720

Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.

n! = n × (n – 1) × (n – 2) ... × 3 × 2 × 1, dengan n bilangan asli, untuk n ≥ 2.

b. 1! = 1

c. 0! = 1

Permutasi

Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.

Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur adalah 4 × 3 × 2 = 24. Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur dapat ditulis sebagai berikut:

Kombinasi

Pada permutasi, Anda telah dapat memilih 3 orang dari 5 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Lain halnya jika dari 5 orang itu akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut tidak sebanyak 60 cara seperti pada pemilihan ketua, sekretaris, dan bendahara. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

Misalkan, dari 5 orang akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat diterangkan sebagai berikut.

Dari Subbab A.3 telah dijelaskan bahwa susunan 3 unsur dari 5 unsur, yaitu

ABC ADE BCD CAB CDE DBC EAB ECD

ABD AEB BCE CAD CEA DBE EAC EDA

ABE AEC BDA CAE CEB DCA EAD EDB

ACB AED BDC CBA CED DCB EBA EDC

ACD BAC BDE CBD DAB DCE EBC

ACE BAD BEA CBE DAC DEA EBD

ADB BAE BEC CDA DAE DEB ECA

ADC BCA BED CDB DBA DEC ECB

Oleh karena pemilihan 3 orang untuk mengikuti lomba debat tidak memperhatikan urutan maka dari 60 susunan itu terdapat 10 susunan yang berbeda. Kesepuluh susunan tersebut adalah ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, dan CDE. Susunan yang tidak memperhatikan urutannya disebut kombinasi.

Kombinasi r unsur dari n unsur ialah himpunan bagian r unsur yang dapat diambil dari n unsur yang berlainan dengan urutan penyusunan unsur tidak diperhatikan.

Sumber
BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matatematika Prog IPA Wahyudin Djumanta & R Sudrajat