Materi Prengantar matematika ekonomi

Sains Manajemen

1

BAB I

PENGANTAR MATEMATIKA EKONOMI

1.1 Matematika Ekonomi

Aktivitas ekonomi merupakan bagian dari kehidupan manusia ribuan tahun yang lalu. Kata

geconomicsh berasal dari kata Yunani klasik yang artinya g household managementh.

Sebelumnya pedagang Yunani telah memahami phenomena ekonomi, seperti apabila terjadi

kegagalan panen akan menyebabkan harga jagung meningkat di pasar, tetapi kekurangan emas

mungkin dapat menurunkan harga jagung. Dalam banyak hal konsep dasar ekonomi hanya

diekspresikan dalam bentuk matematika sederhana, seperti bilangan bulat atau pecahan diikuti

dengan operasi sederhana seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Namun

dengan berkembangnya kehidupan manusia, maka aktivitas ekonomi yang dilakukan semakin

kompleks dan makin saling terkait dengan aktivitas lainnya, sehingga membutuhkan pemecahan

yang kompleks juga.

Secara umum, semakin kompleks suatu masalah, akan semakin kompleks pula alat analisis yang

digunakan untuk pemecahannya. Salahsatu alat yang dianggap mampu mengekspresikan

kekompleksan permasalahan tersebut adalah model matematika. Mentransformasi model

ekonomi kedalam model matematika, memungkinkan terjadinya peralihan tingkat kesulitan

pemecahan masalah ekonomi ke dalam pemecahan masalah matematika. Untuk itu diperlukan

pemahaman tentang beberapa konsep matematika sebagai syarat pemecahan masalah

matematika, sehingga perlu dipelajari oleh ekonom dan pelaku bisnis. Hal ini diperlukan agar

interpretasi pemecahan matematika dapat dikonversikan kedalam penyelesaian masalah ekonomi

dan bisnis, seperti pada Gambar 1. Tingkat kesulitan masalah matematika bukan disebabkan

oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, melainkan disebabkan oleh sulit dan kompleksnya

gejala yang penyelesaiannya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan model matematik.

Memahami matematika ekonomi adalah merupakan cara/pola pikir Ilmu ekonomi dan bisnis

dengan analisis yang bersifat kuantitatip .

MASALAH

EKONOMI

& BISNIS

MODEL

MATEMATIK

A

MASALAH

MATEMATIKA

Sains Manajemen

2

Gambar 1. Kerangka Model Pemecahan Masalah Ekonomi & Bisnis

1.2 Teori Ekonomi dan Matematika Ekonomi

Teori Ekonomi mengungkapkan hubungan antar variabel ekononomi secara kualitatif, misalnya,

jika harga naik/turun kuantitas permintaan berkurang/naik, jika investasi bertambah maka

pendapatan nasional meningkat, jika konsumsi meningkat maka pendapatan nasional meningkat

dan hungan lainnya yang berhubungan dengan aktivitas ekonomi sebuah kelompok masyarakat

Teori Ekonomi yang terkait dengan phenomena tersebut, tidak memberikan ukuran kekuatan

hubungan secara tegas antara variabel ekonomi. Matematika Ekonomi dapat membantu

menyederhanakan hubungan tersebut dalam sebuah model yang disebut dengan model

matematika, Sebagai contoh secara konsep ekonomi, terdapat gejala bahwa permintaan sebuah

komoditi sangat bergantung pada harganya, dengan anggapan bahwa faktor lain yang dapat

mempengaruhi permintaan komoditi tersebut dianggap konstan (ceteris paribus). Gejala tersebut

dapat diekspresikan sebagai sebuah fungsi matematik Q = f(P). Jika hubungan tersebut

diasumsikan linear, maka kemudian dapat diperjelas dengan model linear Q = a + bP, dengan Q

adalah kuantitas permintaan komoditi dan P adalah harga satuannya, dan a dan b adalah

parameter atau koefisien. Sehingga model teori ekonomi yang kualitatif dapat didekati dengan

model kuantitatif. Menemukan nilai prameter a dan b dalam persamaan matematika Q = a + bP,

diperlukan pengetahuan tentang beberapa konsep dalam matematika atau statistika. Dengan

demikian konsep matematika atau statistika yang mampu mengekspresikan konsep ekonomi dan

permasalahannya serta menemukan pemecahannya disebut sebagai matematika ekonomi atau

statistika ekonomi.

PENYELESAIAN

MASALAH

MATEMATIKA

PENYELESAIAN

MASALAH

EKONOMI

Sains Manajemen

3

Selain model linear sederhana tersebut di atas, masih banyak model matematika lainnya yang

mampu mengekspresikan phenomena ekonomi maupun bisnis dalam dunia nyata. Sebagai

contoh, model eksponensial dapat mengekspresikan kasus pertumbuhan penduduk, pertumbuhan

pendapatan suatu negara, model multivariate dapat mengungkapkan pengaruh berbagai variabel

terhadap permintaan dan penawaran sebuah komoditi, model linear programming, model

kalkulus differensial yang banyak diaplikasikan dalam menyelesaikan masalah ekonomi dan

bisnis yang menyangkut optimalisas. dan model matematika lainnya dengan berbagai

manfaatnya. Untuk itu, pada bagian pendahuluan ini, diperlukan beberapa pemahaman tentang

variabel, parameter, dan konstanta sebagai konsep dasar model matematika yang akan digunakan

dalam penerapan pemecahan masalah nyata.

1.3 Variabel dan Konstanta

Model matematika pada umumnya dinyatakan dengan berbagai simbol dan kombinasi antara

variabel dan konstanta. Variabel merupakan unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan

ke keadaan lainnya, dan dalam suatu rumusan fungsi dapat dibedakan menjadi variabel bebas

dan tidak bebas. Variabel bebas yaitu variabel yang dapat menerangkan variabel lainnya

(mempengaruhi), Variabel tidak bebas yaitu variabel yang diterangkan oleh variabel bebas

(dipengaruhi). Koefisien ialah bilangan atau angka yang diletakkan tepat didepan suatu variabel,

dan terkait dengan variabel yang bersangkutan.

Konstanta adalah suatu besaran bilangan atau angka yang sifatnya tetap dan tidak berubah untuk

suatu kasus dan tidak terkait dengan suatu variabel. Konstanta atau koefisien yang sifatnya

masih umum disebut sebagai parameter, artinya besarannya tetap untuk suatu kasus, tetapi

berubah pada kasus lainnya.

Sebagai contoh persamaan:

Y = 10 + 2 X,

nilai 10 dan 2 adalah konstanta, X adalah variabel bebas dan Y adalah variabel tidak bebas,

konstanta 2 dapat disebut sebagai koefisien variabel X. Selanjutnya jika persamaan :

Y = a + b X,

Dengan a dan b adalah konstanta, dalam hal ini a dan b dapat disebut juga parameter, karena

nilainya dapat berbeda untuk mengungkapkan kasus yang sama pada objek yang berbeda.

Sains Manajemen

4

1.4 Model Matematika

Model adalah representasi dari objek atau situasi atau kondisi yang sebenarnya. Model dapat

disajikan dalam berbagai bentuk, yang salahsatunya adalah model matematika. Model matemtika

merepresentasikan suatu masalah dengan sistem yang mencerminkan hubungan antar simbol atau

hubungan matematis. Sebagai contoh, permintaan sebuah komoditi P, penerimaan dari hasil

penjualan produk Q adalah R, biaya total untuk memproduksi Q adalah C, dan laba total dari

penjualan Q ditentukan dengan mendapatkan selisih antara penerimaan R dengan total biaya C

dari jumlah Q yang yang terjual, maka model matematika yang dapat dibuat adalah:

P = a + bQ; a dan b konstanta, (1)

R = PQ = (a + bQ)Q = aQ +bQ2 (2)

C = c + dQ; c dan d konstanta, (3)

ƒÎ = R . C, (4)

Tujuan dari adanya sebuah model matematika adalah, memungkinkan dilakukan proses

pengambilan keputusan mengenai situasi nyata dengan menganalisis model tersebut. Nilai

kesimpulan dan keputusan berdasarkan model tergantung pada seberapa baiknya model

matematika dapat merepresentasikan kondisi nyatanya. Dengan pengertian bahwa model yang

baik membuat keputusan menjadi tidak bias.

Model matematika selalu melibatkan simbol untuk menyatakan suatu besaran bilangan dan

angka, maka pemahaman himpunan dan operasinya, sistem bilangan dan operasinya perlu

dipahami dengan baik, terutama system bilangan nyata. Penjelasan pada bab selanjutnya akan

mebantu pembaca untuk memahami himpunan dan sistem bilangan nyata dan operasinya. Selain

itu model matematika yang membutuhkan pemahaman tentang konsep linear dan kuadratik,

maupun model-model non linear lainnya dapat dipelajari dalam modul ini. Selain itu modul ini

akan dilengkapi juga dengan bentuk-bentuk kasus matematika dan kasus ekonomi serta bisnis

dalam bentuk soal-jawab, dan beberapa tugas dalam bentuk soal latihan untuk pemahaman lebih

mendalam.

Sains Manajemen

5

BAB II

HIMPUNAN DAN SISTEM BILANGAN NYATA

2.1 Himpunan

Suatu himpunan diartikan sebagai kelompok dari obyek, atau unsur yang dirumuskan dengan

tegas dan dapat dibedakan. Unsur atau anggota himpunan dapat berupa orang, benda, angka,

bilangan, dan lainnya yang sifatnya tangible atau intangible. Notasi atau tanda dari sebuah

himpunan adalah kurung kurawal { } dan unsur atau elemen ditulis didalamnya dan dipisahkan

dengan tanda koma g,h. Nama suatu himpunan selalu dinyatakan dengan huruf abjad (huruf

besar).

Contoh : Himpunan mata dadu:

D = {1,2,3,4,5,6}

Bila x merupakan suatu objek atau unsur, sedangkan A merupakan suatu himpunan (set) dimana

x tesebut menjadi anggota dari A. Misalnya terdapat suatu kelompok yang terdiri dari 3

Sains Manajemen

6

mahasiswa merokok, maka di peroleh suatu himpunan yang terdiri dari 3 unsur/elemen. Jika di

ambil hanya satu mahasiswa yang merokok, maka terdapat satu himpunan dengan satu elemen.

Sedangkan bila di ingin mendapatkan mahasiswa yang tidak merokok darinya, maka di peroleh

suatu himpunan dengan tanpa elemen atau terdapat suatu himpunan kosong, yang ditulis O.

2.1.1 Penulisan Himpunan

Pada umumnya cara menulis sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. Pertama,

dengan mendaftar (roster method), seluruh anggotanya dalam sebuah daftar. Sebagai contoh,

himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,3,5,7,9 dapat dinyatakan sebagai:

A={1,3,5,7,9}

Cara kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan (rule method) yang dimiliki oleh

seluruh anggota suatu himpunan. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka

dapat ditulis:

A = {x/0 < x < 10; x . bilangan bulat }

Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis A ¼ B , jika setiap anggota A

merupakan anggota B. Himpunan kosong selalu merupakan himpunan bagian dari sembarang

himpunan, dapat ditulis, ƒÓ ¼ A untuk sebarang himpunan A. Himpunan semesta S adalah

himpunan dari seluruh obyek yang diamati dan bersifat tetap. Seluruh himpunan yang

dibicarakan merupakan humpunan bagian dari himpunan semesta.

2.1.2 Operasi dalam himpunan

Beberapa operasi yang lasim digunakan dalam himpunan seperti berikut:

a. Gabungan (union) disimbol gUh

A U B = {x / x . A atau x . B}

Contoh 1: jika himpunan A= { 1, 3, 5, 7 } dan himpunan B = { 2, 4, 6, 8 }, maka

hasil dari A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, karena anggota himpunan ini ada pada A

atau ada pada B, tidak harus ada pada keduanya.

Sains Manajemen

7

b. Irisan (intersection) disimbol e¿e

A ¿ B = {x / x . A dan x . B}

Contoh 2: jika himpunan A = {x / 0 . x .15; x . bilangan bulat positip} dan himpunan B = {y /

0 < y . 19; y kelipatan 2}, hasil A ¿ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, karena anggota

himpunan ini ada pada kedua himpunan A dan himpunan B.

c. Selisih (Difference) disimbol e-e

A - B = {x / x . A tetapi x . B}

Contoh 3: Pada kasus (b) di atas, maka hasil dari:

A . B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}, karena anggota himpunan ini hanya ada pada

himpunan A tidak terdapat pada himpunan B.

B . A = {16,18}, karena anggota himpunan ini hanya ada pada himpunan B dan tidak

terdapat pada himpunan A.

d. Pelengkap (complement) disimbol (-)

. = {x / x . S tetapi x . A} = S . A

Contoh 4: Himpunan semesta S = {x / x . 20; x . bilangan asli}; dan himpunan

A = {y / 0 < y . 20; y . kelipatan 2}.

. = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} = S . A.

2.1.3 Beberapa Kaidah Operasi Himpunan

Operasi dalam himpunan memeliki beberapa kaidah seperti padaTabel 2.1 berikut ini:

Tabel 2.1 Kaidah-Kaidah Operasi dalam Himpunan

Kaidah Idempoten

a. A U A = A b. A ¿ A = A

Kaidah Asosiatif

a. ( A U B ) U C = A U ( B U C )

b. ( A ¿ B ) ¿ C = A ¿ ( B ¿ C )

Kaidah Komutatif

a. A U B = B U A b. A ¿ B = B ¿ A

Kaidah Distributif

a. A U (B ¿ C) = (A U B) ¿ (A U C) b. A ¿ (B U C) = (A ¿ B) U (A ¿ C)

Sains Manajemen

8

Kaidah Identitas

a. A U O = A b. A ¿ O = O

c. A U S = S d. A ¿ S = A

Kaidah Kelengkapan

a. A U . = S b. A ¿ .= O

__ _ _

c. ( . ) = A d. S = O O = S

Kaidah De Morgan

_____ _ _ _____ _ _

a. (A U B)= A ¿ B b. (A ¿ B) = A U B

2.1.4 Diagram Venn

Cara mudah untuk menyatakan dan melihat daerah jawaban dari beberapa operasi himpunan

adalah dengan menggunakan diagram atau gambar himpunan yang disebut dengan diagram

Venn. Berikut ini, daerah yang diarsir merupakan jawaban operasi himpunan yang dimaksud.

a. Gabungan (union)

Gambar 2.1 A U B

b. Irisan (intersection)

Gambar 2.2 A ¿ B

c. Selisih (Difference)

Sains Manajemen

9

Gambar 2.3 A . B Gambar 2.4 B - A

d. Pelengkap (complement)

Gambar 2.5 .

2.1.5 Menentukan banyak Anggota Himpunan

Banyak anggota himpunan A ditulis n(A) dan memiliki nilainya yang unik dan diukur dengan

bilangan cacah 0, 1, 2, c, Beberapa aturan dalam menghitung banyak anggota himpunan,

sebagai berkut:

Untuk A, B, C suatu himpunan yang tidak kosong, dan O himpunan kosong, berlaku perhitungan

banyak anggota himpunan sebagai berikut:

1. n(O) = 0

2. n(A U B) = n(A) + n(B) . n(A¿B)

3. n(A - B) = n(A) - n(A ¿ B)

_ _

Sains Manajemen

10

4. n(S . A) = n(A), n(S . A)= n(A)

5. n(AUBUC) = n(A)+n(B)+n(C) . n(A¿B) - n(A¿C) - n(B¿C) + n(A¿B¿C)

Contoh 1: Jika A = {0}, maka n(A) = 1

Jika B = O = { }, maka n(B) = 0

Jika C = { ali }, maka n(C) = 1

Contoh 2: Jika himpunan A= { 1, 3, 5, 7 } dan himpunan B = { 2, 4, 6, 8 }, maka banyak anggota

himpunan dari:

n(A) = 4; n(B) = 4

n(A U B) = n(A) + n(B) = 8; karena n(A¿B) = 0

n(A . B) = n(A) = 4

n(B . A) = n(B) = 4

Contoh 3: Jika himpunan A = {x / 0 . x .15; x . bilangan bulat positip} dan himpunan

B = {y / 0 < y . 19; y kelipatan 2}, maka hasil A¿B={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, dan banyak

anggota himpunan dari:

n(A) = 15, n(B) = 9, dan n(A¿B) = 7

n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A¿B)

= 15 + 9 . 7

= 17

n(A . B) = n(A) - n(A¿B) = 15 . 7 = 8

n(B . A) = n(B) - n(A¿B) = 9 . 7 = 2

Contoh 4: Dari 200 mahasiswa fakultas ekonomi ada yang mengikuti semester pendek, paling

banyak mengambil 3 mata kuliah, yaitu A, B, dan C. Data yang diperoleh adalah

sebagai berikut:

mengikuti mata kuliah A sebanyak 45 mahasiswa

mengikuti mata kuliah B sebanyak 50 mahasiswa

mengikuti mata kuliah C sebanyak 75 mahasiswa

mengikuti mata kuliah A dan B sebanyak 20 MHS

mengikuti mata kuliah A dan C sebanyak 15 MHS

mengikuti mata kuliah C dan B sebanyak 20 MHS

Sains Manajemen

11

mengikuti mata kuliah A,B,dan C sebanyak 10 MHS

Tentukan : a) Jumlah mahasiswa yang tidak kuliah semester pendek

b) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 1 mata kuliah

c) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 2 mata kuliah

Gambar 2.6 Diagram Venn Contoh 4.

a. Jumlah mahasiswa yang tidak mengikuti semester pendek pada diagram venn adalah

semua mahasiswa yang tidak mengambil satu matakuliah sekalipun, yaitu 75 mahasiswa.

b. Jumlah mahasiswa yang mengambil hanya satu matakuliah seperti pada diagram venn

adalah matakuliah A sebanyak 20 mahasiswa, matakuliah B sebanyak 20 mahasiswa, dan

matakuliah C sebanyak 50 mahasiswa, jadi total yang mangambil hanya satu matakuliah

adalah 90 mahasiswa.

c. Jumlah mahasiswa yang mengambil hanya dua matakuliah pada diagram venn adalah

sebagai berikut:

- mahasiswa yang mengambil matakuliah A dan B tetapi bukan C sebanyak 10

mahasiswa

- mahasiswa yang mengambil matakuliah A dan C tetapi bukan B sebanyak 5 mahasiswa

- mahasiswa yang mengambil matakuliah B dan C tetapi bukan A sebanyak 10

mahasiswa

Jadi total mahasiswa yang mengambil hanya dua matakuliah adalah sebanyak 25

mahasiswa

2.1.4 Himpunan Pasangan Terurut dan Hasil Kali Cartesius

Sains Manajemen

12

Himpunan pasangan terurut (a,b) adalah suatu himpunan dari dua unsur dalam himpunan yang

urutan anggotanya tertentu, sehingga a sebagai aggota pertamanya dan b anggota keduanya.

Seperti himpunan juara suatu turnamen yang ditulis sebagai pasangan terurut (a,b,c), maka a

sebagai juara pertama, b sebagai juara kedua, dan c sebagai juara ketiga. Pada kondisi ini, maka

pasanganterurut (a,b) ‚ (b,a). Misal ditinjau himpunan A = {1,2}, himpunan B = {a,b,c}, dan

himpunan C adalh himpunan pasangan terurut dengan anggota himpunan A sebagai nomor

pasangan pertama dan anggota himpunan B sebagai nomor pasangan kedua, maka diperole

himpunan C adalah:

C = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}

Himpunan C merupakan perkalian Cartesius himpunan A dan himpunan B dan ditulis :

A x B = C = {(a,b) / a . A dan b . B}

Jika dilakukan perkalian Cartesius himpunan B dan himpunan A, maka diperoleh:

B x A = D = {(b,a) / b . B dan a . A}

= {(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)}

Hasil kedua perkalian Cartesius tersebut di atas menunjukan bahwa:

A x B ‚ B x A.

Memperoleh semua pasangan terurut suatu hasil kali Cartesius, dengan mudah dapat dibuat

dalam daftar tabel berikut :

Tabel 2.1 Perkalian Cartesiu AxB

B

A

1 2

a

b

c

(a,1)

(b,1)

(c,1)

(a,2)

(b,2)

(c,1)

Hasil kali Cartesius RxR dinamakan R2 dan angotanya dapat digambarkan sebagai titik-titik

dalam ruang dimensi dua atau dinamakan ruang Euklides dimensi dua. Bentuk perkalian

Cartesius dapat dikembangkan untuk perkalian tiga himpunan atau lebih sampai dengan n

himpunan. Perkalian Cartesius R x R x R akan menghasilkan titik-titik pada ruang R3 atau ruang

Euclides dimensi tiga, misal:

Himpunan A = {1,2}, B= {a,b} dan C = {3,5,7}, maka:

Sains Manajemen

13

A x B x C = {(a,b,c) / a . A, b . B, dan c . C}, yang dapat digambarkan dengan diagram

pohon berikut, dan anggota himpunan tertulis disebelah kanan diagram:

Diagram 2.1 Diagram Pohon Perkalian Cartesius AxBxC

2.2 Bilangan Nyata

Bertolak dari konsep tentang himpunan yang telah dijelaskan di atas, maka beberapa pengertian

dasar himpunan yang akan digunakan dalam pembahasan bilangan nyata, seperti berikut:

Jika a merupakan anggota himpunan A, maka dituliskan a¸ A dan dibaca ga elemen Ah. Jika a

bukan anggota himpunan A, maka dituliskan a. Adan dibaca ga bukan elemen Ah.

Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis A ¼ B , jika setiap anggota A

merupakan anggota B. Selalu berlaku bahwa ƒÓ ¼ A untuk sebarang himpunan A. Selanjutnya,

akan disampaikan beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting, yaitu:

Himpunan semua bilangan asli adalah N = {1,2,3,...}. Himpunan ini tertutup terhadap operasi

penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya x + y ¸N dan x.y ¸N untuk setiap x, y ¸N .

Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem

1

2

a

b

a

b

3

5

5

3

3

5

3

5

(1,a,5)

(1,b,3)

(1,b,5)

(1,a,3)

(2,a,3)

(2,a,5)

(2,b,5)

(2,b,3)

Sains Manajemen

14

bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan

bulat negatip membentuk Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi B,

B = {...,. 3,. 2,.1,0,1,2,3,...}

Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli.

Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,

. . .

. . .

Q = a b¸B,dan b ‚ 0

b

a : ,

Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional. Bilangan

yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain

adalah 2 dan ƒÎ. Bilangan 2 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang

sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1. Sedangkan bilangan ƒÎ merupakan hasil bagi keliling

sebarang lingkaran terhadap diameternya.

Berikut ini digambarkan diagram yang menggambarkan system bilangan nyata (real) yang telah

di jelaskan di atas:

Bilangan

Nyata

Bilangan

Rasional

Bilangan

Irasional

Sains Manajemen

15

Diagram 2.2 Sistem Bilangan Nyata

2.2.1 Sifat-Sifat Operasi Bilangan Nyata

Kombinasi dari dua bilangan nyata x dan y. dapat dilakukan dengan operasi penambahan atau

perkalian, sehingga didapatkan suatu bilangan Nyata yang baru. Operasi penambahan diberi

lambang g+h sehingga penambahan y dari x ditulis x + y, sedangkan operasi kali diberi lambang

g~ h atau untuk memudahkan diberi lambang titik g.h, sehingga perkalian y terhadap x ditulis x.y

(atau cukup ditulis xy saja). Sifat-sifat dari operasi tambah dan kali dari bilangan nyata dapat

dilihat pada tabel 2.2 di bawah ini:

Tabel 2. 2 Sifat Operasi Bilangan Nyata

Sifat Contoh Deskripsi

a. Sifat Komutatif

a + b = b + a 5 + 4 = 4 + 5 Urutan pada operasi

penjumlahan dua bilangan

tidak berpengaruh

ab = ba 7 E 8 = 8 E 7 Urutan pada operasi

perkalian dua bilangan

tidak berpengaruh

b. Sifat Asosiatif

(a + b) + c = a + (b + c ) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) Pada saat menjumlahkan

tiga bilangan, di dapt

menjumlahkan dua

bilangan terlebih dahulu

(ab)c = a(bc) (5 E 3) E 8 = 5 E (3 E 8) Pada saat mengkalikan

tiga bilangan, di dapat

mengkalikan dua bilangan

terlebih dahulu

c. Sifat Distributif

a(b + c) = ab + ac 4(3 + 5) = 4 E 3 + 4 E 5 Pada saat di mengkalikan

Bilangan

Bulat

Bilangan

Pecahan

Bilangan

Bulat Negatip

Bilangan

Nol

Bilangan

Bulat Positip

Sains Manajemen

16

(b + c)a = ab + ac

(4 + 7)5 = 5 E 4 + 5 E 7

suatu bilangan dengan

jumlah dari dua bilangan

hasilnya akan sama dengan

mengkalikan bilangan itu

dengan masing-masing

masing-masing bilangan

tersebut dan kemudian

dijumlahkan

2.2.2 Pangkat Bilangan Bulat

Sebuah perkalian dari bilangan yang identik (identical number) sering kali dinyatakan sebagai

pangkat, sebagai contoh 3 E 3 E 3 = 33.

a. Notasi pangkat

Jika a suatu bilangan Nyata dan n sebuah bilangan bulat, maka pangkat n dari a adalah:

1 4 4 2 4 4 3

n kali

an = a ~ a ~ a ~. . .~ a

Bilangan a disebut basis dan n disebut eksponen. Perkalian dua perpangkatan yang mempunyai

basis sama, yaitu dengan menjumlahkan eksponennya:

Contoh 5: 42 x 4-1 = 4(2-1) = 41 = 4

atau dapat di nyatakan sebagai

m n

m n m n

am an a a a a a a a a a a a a a +

+

~ = 1 4~ 44~2 ~4. .4.~43 ~ 1 4~ 44~2 ~4. .4.~43 = 1~4 4~2 ~4. .4.~3 =

kali kali kali

( ) ( )

Contoh 6: 35 . 32 = (3 . 3 . 3 . 3 . 3).(3 . 3) = (3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3)

= 37 = 35 + 2 = 2187

Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa:

a m ~ a n = a m+ n , dimana m dan n bilangan bulat positip. Hal itu akan berlaku untuk m

dan n nol dan negatip seperti terlihat di bawah

Contoh 7: 30 x 33 = 30+3 = 33; dengan 30 = 1, demikian juga untuk:

Sains Manajemen

17

Contoh 8: 43 x 4-5 = 43 + (- 5) = 4-2 ; dengan 4-2 = 1/42 = 1/16.

b. Pangkat nol dan negatip

Jika a ‚ 0 suatu bilangan nyata dan n sebuah bilangan bulat, maka:

a0 = 1 dan n

n

a

a. = 1

Contoh 9:

81

1

3

1

3.3.3.3

3 1 4

.4 = = =

c. Bentuk akar

Umumnya yang telah dijelaskan pada pembahasan di atas, yang pembahasan lebih ditekankan

pada pangkat dari suatu bilangan dengan nilai bulat. Tetapi pangkat dari suatu bilangan tidak

selalu bernilai bulat misalkan 22/3. Simbol seperti berikut g g dibaca dengan gakar positip

darih. Sehingga:

a = b setara dengan b2 = a dan b . 0; karena a = b2 . 0, simbol a hanya

akan berlaku jika a . 0. Misalkan: 9 = 3 karena 32 = 9 dan 3 . 0, selanjutnya

3 8 = 2 karena 23 = 8; dan 3 .8 = .2 karena (-2)3 = -8

d. Akar pangkat n

Akar ke-n dari bilangan a adalah bilangan yang ditimbulkan dari pangkat ke-n suatu bilangan

lain, yaitu: Jika n bilangan bulat positip, maka akar pangkat n dari bilangan nyata a didefinisikan

sebagai:

n a = b setara dengan bn = a

e. Pangkat Rasional

Jika pangkat rasional m/n, dimana m dan n bilangan bulat dan n > 0, maka:

am / n = (n a )m setara dengan am/ n = n am , Jika n genap maka disyaratkan a . 0

Berdarkan definisi di atas dapat bibuktikan bahwa hukum perpangkatan juga berlaku untuk

pangkat rasional.

Sains Manajemen

18

Contoh 10: Sederhanakan pangkat rasional 641/3

Jawab: Dengan menggunakan definisi di atas maka:

641/ 3 = 3 64 = 3 43 = 43 / 3 = 4

Dengan beberapa aturan yang sudah dikemukakan di atas maka di dapat membuat beberapa

aturan umum untuk menyelesaikan suatu eksponensial, beberapa aturan umum yang dimaksud

dapat di singkat dalam tabel yang ada di bawah ini:

Tabel 2.3 Beberapa Aturan Perpangkatan

Aturan Deskripsi

amnn = am+n Mengalikan dua pangkat dari bilangan yang sama, yaitu

dengan menjumlahkan pangkatnya

m n

n

m

a

a

a = .

Membagi dua pangkat dari bilangan yang sama, yaitu dengan

mengurangkan eksponennya

(am )n = am~n Pangkat dari suatu pangkat, mengkalikan eksponennya

(ab)n = anbn Pangkat dari perkalian, mengkalikan bilangan berpangkat

tersebut

n

n n

b

a

b

a = ..

.

..

.

Pangkat dari pembagian, timbul dari hasil bari pembagian

pembilang dan penyebut dengan pangkat sama

n

n n

a

b

b

a = ..

.

..

. .

Hasil pangkat negatip dari pembagian sama dengan membalik

pembagian dengan pangkat sama

m

n

n

m

a

a

a

a = .

.

Jika bilangan rasional pembilang dan penyebutnya mempunyai

pangkat negatip maka di dapat membalik posisinya

Contoh 11: Sederhanakan persamaan 3 3

3 3 2 2

2

4

( )

( )

xy

x y

y

x

. ..

.

. ..

.

!

Sains Manajemen

19

Jawab: Dengan menggunakan beberapa aturan yang ada pada tabel di atas di dapat

menyelesaikan, yaitu

= = .

..

.

. ..

.

3 9

6 4

6

12

3 3

3 3 2 2

2

4

.

( )

( )

x y

x y

y

x

xy

x y

y

x

11

15

3 15

18 4

y

x

x y

x y =

Contoh 12: Sederhanakan penulisan akar menjadi bentuk pangkat dari bilangan berikut!

Jawab:

a. x x x = (x(x(x1/ 2 ))1/ 2 )1/ 2 = (x(xx1/ 2 )1/ 2 )1/ 2 = (x(x3 / 2 )1/ 2 )1/ 2

= (xx3 / 4 )1/ 2 = (x7 / 4 )1/ 2 = x7 / 8

b. (3 x )(44 x ) = (3x1/ 2 )(4x1/ 4 ) = 12x1/ 2+1/ 4 = 12x3 / 4

2.3 Persamaan dan Pertidaksamaan

Sebuah pernyataan persamaan adalah kesamaan dari dua ekspresi aljabar, dapat dinyatakan

dalam satu atau lebih variabel:

Persamaan 3x . 10 = 22 . 5x (satu variabel derajat satu)

Persamaan w2 . 5w = -16 (satu variabel derajat dua)

Persamaan (tiga variabel derajat satu)

Jawaban dari sebuah persamaan terdiri atas angka atau bilangan, yang ketika disubstitusi untuk

nilai variabel dalam persamaan akan menjadi benar. Bilangan atau nilai dari variabel yang

membuat persamaan tersebut menjadi benar disebut dengan akar persamaan.

a. Identifikasi Sebuah Persamaan:

i. Persamaan yang benar untuk setiap nilai untuk variabel dalam persamaan, seperti :

5(x+y) = 5x + 5y

ii. Persamaan yang hanya mempunyai nilai tunggal untuk variabel, seperti

x + 3 = 5

100

3

2 5 8 =

r . s + t

Sains Manajemen

20

iii. Persamaan yang merupakan pernyataan yang salah, tidak terdapat satu nilaipun yang

memenuhi

x = x + 5

b. Aturan Manipulasi Persamaan

i. Nilai jawaban persamaan tidak berubah jika kedua sisi persamaan ditambah dengan

bilangan yang sama

ii. Nilai jawaban persamaan tidak berubah jika kedua sisi persamaan dikalikan atau dibagi

dengan bilangan konstan yang sama ‚ 0

iii. Kedua sisi persamaan dikuadratkan atau diakarkan atau dilakukan operasi yang sama

(logaritma)

2.3.1 Persamaan Linear Sederhana

Kebanyakan phenomena nyata dapat direpresentasikan secara matematik, salah satunya adalah

hubungan linear, atau paling tidak dapat didekati secara linear. Hal itu dapat terjadi karena

beberapa alasan diantaranya: 1) aplikasi konsep linear cukup luas penerapannya terutama dalam

bidang ekonomi dan bisnis, 2) hubungan pengaruh dalam model linear lebih mudah

diinterpretasikan dibanding non linear

Bentuk umum persamaan linear dengan dua variabel dapat ditulis sebagai berikut:

ax + by = c; x,y adalah variabel

a,b dan c konstanta

Disebut linear, karena pangkat variabel dalam persamaan adalah pangkat satu dan tidak terdapat

bentuk perkalian antar variabel dalam persamaan. Suatu persamaan linear ax+by=c mempunyai

himpunan jawaban pasangan terurut (x,y) yang memenuhi persamaan tersebut.

Jika S adalah himpunan jawaban dari persamaaqn ax + by = c, maka S dapat ditulis sebagai

berikut:

S = {(x,y)/ax + by = c}

Sains Manajemen

21

Untuk mendapatkan nilai pasangan terurut (x,y) asumsikan salah satu nilai secara konstan, dan

substitusikan ke persamaan untuk mendapatkan pasangan nilai lainnya, sehingga persaamaan

memiliki nilai benar.

Contoh 13. persamaan 2x + 4y = 16; untuk x = -2; y = 5

untuk y = 0; x = 8

terlihat bahwa hanya satu variabel yang dapat bebas ditentukan nilainya, sehingga

persamaan ini disebut memiliki satu derajat kebebasan.

Contoh 14: Aplikasi pada bidang produksi: Sebuah perusahaan mempunyai dua jenis produk a

dan b, minggu depan perusahaan alokasikan 120 jam kerja untuk menghasilkan

dua produk tersebut. Dalam mengejar target, perusahaan mengalokasikan waktu 3

jam untuk produk a dan 2.5 jam untuk produk b. Bagaimana model persamaannya?

Jawaban : Jika didefinisikan variabel y = banyak unit produk A yang diproduksi, sedangkan x =

banyak unit produk B yang diproduksi, maka alokasi jam produksi untuk dua jenis

produk tersebut adalah:

2.5 x + 3 y = 120, Jika produksi produk B sebanyak x = 30 unit, maka produk A akan

diproduksi, y = 15 unit

2.3.2 Persamaan Linear Dengan n Variabel

a. Bentuk umum

Persamaan linear dengan n variabel meliputi x1, x2, x3, cc.., xn, mempunyai bentuk umum :

a1x1+ a2x2+ a3x3+ cc..+ anxn = b, dengan a1 , a2 , a3,cc ,an dan b adalah bilangan

konstan dan a1 , a2 , a3, cccc ,an tidak semuanya nol.

Misalnya:

Persamaan (1).3x1- 2x2+ 5x3 = 0; a1=3 , a2=-2 , a3=5; b=0

Persamaan (2). 2x1+ 5x3+ 2x4+ 4x5 = 10; a1=2 , a2=0 , a3=5, a4=2, a5=4, b=10

b. Jawaban persamaan linear dengan n variabel

Jawaban Persamaan linear dengan n variabel adalah mentukan himpunan

Sains Manajemen

22

S = {(x1,x2,x3, c.., xn)| a1x1+ a2x2+ a3x3+ ..+ anxn = b}

Contoh 15: Diberikan persamaan linear 2x1+ 3x2 - x3+ x4 = 16,

a. Berapakah derajat kebebasan persamaan ini ?

b. Tentukan himpunan jawaban untuk setiap kombinasi nilai tiga variabel yang sama

dengan nol.

c. Karakteristik grafik persamaan

Suatu persamaan yang mengandung dua variabel digambarkan sebagai grafik garis lurus dalam

dua dimensi. Garis lurus dapat digambarkan melalui dua pasangan titik (x,y) yang memenuhi

persamaan linear. Pasangan titik (x,y) yang terletak pada garis akan merupakan kombinasi x dan

y yang memenuhi persamaan, artinya tidak ada jawaban tunggal.

Contoh 16: Gambarkan grafik dari persamaan 2x + 4y = 16

Gambar 2.3 Grafik persamaan 2x+4y=16

Contoh 17. Gambarkan grafik dari persamaan 4x-7y = 0

Sains Manajemen

23

Gambar 2.4 Grafik persamaan 4x-7y=0

d. Slope garis lurus

Sebuah garis lurus kecuali garis vertikal , dapat dikarakterisasi berdasarkan slope garisnya.

Dengan slope garis dapat diketahui garis bergerak naik atau turun dari kiri ke kanan sepanjang

sumbu x. Slope garis lurus dapat positip, nol, negatip, atau tidak terdefenisikan.

y

x

(tidak didefinisikan)

x

y

x (-)

y

(+)

x

y

(0)

Gambar 2.5 Bentuk Slope Garis Lurus

2.3.3 Persamaan Kuadrat

a. Bentuk umum

Bentuk umum dari persamaan kuadrat dengan satu variabel x sebagai berikut:

ax2 + bx + c = 0, a ‚ 0

Sains Manajemen

24

Untuk persamaan 6x2 - 2x + 1 = 0; maka nilai a = 6, b= -2 dan c = 1, untuk persamaan 3x2 - 12

= 0; nilai a = 3, nilai b = 0, dan nilai c = -12, dan untuk persamaan 2x2 - 1 = 5x+9 perlu dibuat

dalam bentuk umum 2x2 . 5x . 10 = 0, sehingga nilai a = 2, b = -5 dan c = -10.

Jika b = 0, maka persamaan kuadrat menjadi ax2 + c = 0, a ‚ 0, dan disebut sebagai persamaan

kuadrat sempurna.

b. Jawaban persamaan kuadrat

Jawaban persamaan atau akar persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan memanipulasi bentuk

persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam bentuk umum di atas dibagi dengan a, maka dapat

diperoleh persamaan kuadrat yang identik sebagai berikut:

x2 + (b/a) x + c/a = 0, a ‚ 0; dan jika dimanipulasi menjadi menjadi bentuk

kuadrat sempurna, maka diperoleh persamaan berikut:

(x +

)2 -

+

= 0

(x +

)2 =

(x +

)2

=

Sehingga akar-akar persamaan kuadratnya adalah:

Sains Manajemen

25

x1,2 =

, yang dikenal dengan rumus abc.

Nilai b2 . 4ac biasa disebut dengan D atau diskriminan, artinya nilai D dapat menjadi pembeda

jawaban atau akar persamaan kuadrat. Dengan demikian sebuah persamaan kuadrat dapat

mempunyai kondisi jawaban atau akar persamaan, sebagai berikut:

1. Tidak mempunyai jawaban nyata, jika D < 0

2. Mempunyai satu jawaban nyata, jika D = 0

3. Mempunyai dua jawaban nyata, jika D > 0

Selain dengan menggunakan rumus abc, penyelesaian persamaan kuadrat satu variabel dapat

menggunakan prosedur yang sangat umum digunakan, yaitu metode faktorisasi. Metode

faktorisasi mencoba membuat persamaan kuadrat menjadi perkalian dari dua faktor sama dengan

nol, sehingga hasil perkalian tersebut dapat terjadi karena paling sedikit salahsatu faktor sama

dengan nol.

Contoh 18: Akar persamaan x2 . 4x = 0, difaktor x(x-4) = 0; sehingga x = 0 atau x-4=0, atau x=4.

Untuk membedakan kedua akar persamaan disebut x1 = 0, dan x2 = 4

Contoh 19: Akar persamaan x2 . 10x + 24 = 0, difaktorkan (x-4)(x-6)=0; sehingga, (x-4)=0 ; x1

= 4; atau (x-6)=0 ; x2= 6.

2.3.2 Persamaan Eksponensial

i. Persamaan eksponensial dengan bentuk umum af(x) = ap

Untuk menyelesaikan persamaan yang berbentuk af(x) = ap, a>0 dan a ‚ 1, dapat

digunakan sifat berikut:

af(x) = ap <==>f(x) = p

Contoh 20: 210-2x = 42

Jawab: 210-2x = 42 ; jadi 10 -2x = 4

2x = 6

Sains Manajemen

26

x = 3

ii. Persamaan eksponen bentuk umum af(x) = ag(x)

Persamaan berbentuk af(x) = ag(x) dan a ‚ 1 dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat:

af(x) = ag(x) <==>f(x) = g(x)

Contoh 21: tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 23x-1 = 4x+5

Jawab : 23x-1 = (22)x+5

23x-1 = 22x+10

3x-1 = 2x+10

3x . 2x = 10 +1

x = 11.

iii. Persamaan Eksponen dengan bentuk umum

a p2f(x) + b pf(x) + c = 0

Terdapat suatu bentuk persamaan eksponen yang dapat dinyatakan dengan persamaan

kuadarat, yaitu dengan mengambil pf(x) = y, maka persamaan dapat ditulis sebagai

berikut:

ay2 + by + c = 0; a ‚ 0.

Contoh 22: Diketahui x1 dan x2 adalah akar .akar dari persamaan eksponen 32x+1 =

28.3x . 9, maka nilai dari x1 + x2 = c

Jawab : 32x+1 = 28. 3x . 9

3. 32x -28 . 3x + 9 =0

3 .(3x)2 . 28 . 3x + 9 = 0

misal : 3x = y, maka 3 y2 . 28y +9=0

Sains Manajemen

27

(3y . 1)(y . 9) = 0

y = 1/3 atau y = 9

3x = 3-1 atau 3x = 32

x1 = -1 atau x2 = 2

x1 + x2 = 1

Cara lain dengan menggunakan konsep perkalian akar persamaan kuadrat:

3y2-28y+9=0 misalkan akarnya y1 dan y2 dengan y1 = 3x1 dan y2 = 3x2, maka : y1.y2 = c/a

3x1.3x2 = 9/3

3x1 x2 +

= 3

x1 + x2 = 1

iv. Persamaan eksponen dengan bentuk umum

h(x)f(x) = h(x)g(x)

Pada persamaan eksponen yang berbentuk h(x)f(x) = h(x)g(x), f(x), g(x) dan h(x) masingmasing

adalah suatu fungsi. Persamaan eksponen h(x)f(x) = h(x)g(x) mempunyai arti

(terdefinsi) jika dan hanya jika memenuhi empat syarat berikut :

1. f(x) = g(x)

2. h(x) = 1

3. h(x) = 0 <==> f(x) > 0 dan g(x) > 0

4. h(x) = -1 <==> (-1)f(x) = (-1)g(x)

Contoh 23: Tentukan penyelesaian dari (2 1) 4 (2 1) 6 x . x2 . x = x . x.

Jawab : Kemungkinan . kemungkinan penyelesaian:

1. 2x-1 = 1, maka x =1

2. 2x-1 = -1, maka x = 0, menyebabkan x2 . 4x = 0 dan x-6 = -6 , 0 dan -6

adalah bilangan sama-sama genap, jadi x = 0 adalah penyelesaian.

Sains Manajemen

28

3. 2x . 1 =0 , maka x = . , menyebabkan x2 . 4x = . - 2 = -1 . dan x . 6 = -

5 . . karena nilai x2 . 4x atau x . 6 untuk x = . negatip, maka x = . bukan

penyelesaian.

4. x2 . 4x = x-6

x2-5x+6 = 0

(x-3)(x-2) = 0

x =3 atau x = 2

Jadi HP = { 0, 1 , 2, 3 }

v. Persamaan eksponen dengan bentuk umum

(f(x))g(x) =(h(x))g(x)

Jawaban persamaan

dapat dilakukuan

dengan 2 alternatif, yaitu:

1. g(x) = 0

2. f(x) = h(x)

Contoh 24:Tentukan nilai x yang memenuhii

( ) x ( ) x x x x . . 2.3 +26 = +76

Jawab: 1. 6 . x = 0, maka x = 6

2. x2 . 3x + 2 = x + 7

x2 -4x . 5 =0

(x-5)(x+1) = 0

x = 5 atau x = -1

Jadi himpunan jawabannya adalah {-1, 5 , 6 }

Sains Manajemen

29

vi. Persamaan eksponen dengan bentuk umum

af (x) = bg(x)

Penyelesaian persamaan

a f ( x) = bg( x) ,

dilakukan dengan cara

Melakukan operasi logaritma pada kedua sisi, akibatnya f(x) dan g(x) diturunkan dengan

menggunakan sifat logaritma.

Contoh 25: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan : 3x = 4x+1

Jawab: 3x = 4x+1

log(3x) = log(4x+1)

x log3 = (x+1) log4

x log3 = x log4 + log4

(log3 . log4)x = log4

log4

log( )

log4

log3 log4

log4 4

3

4 3

= =

.

x =

2.3.3 Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang didalamnya terdapat bentuk logaritma dimana

numerous ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x. Bentuk : alogb disebut

bentuk logaritma dengan a disebut basis dan b disebut numerous. alogb mempunyai nilai, jika a

> 0, a ‚ 1, dan b > 0. Untuk suatu a > 0, a‚1, dan b > 0: alogb = c mempunyai arti ac = b,

sehingga

. a a b b log =

Sains Manajemen

30

a. Sifat . sifat logaritma

1. logb logc log(b.c) a +a =a

contoh 26:

a. log 4 log 16 log( 4.16 ) log 64 6 2 + 2 = 2 = 2 =

b. 6 log 4+6 log 9=6 log 36 = 2

contoh 27:

a. log 4 2

9

2 log 36 2 log 9 2 log 36 =2 = ..

.

..

. = .

b. 3 log90.3 log5.3 log2=3 log9 = 2

2.

b

a

b a

d

d

log

log

log =

contoh 28:

a. log 4 2

log 2

log 4 2

3

3

= =

b. 2

log 2 1

log 4

log 2 4

5

5

= =

Sains Manajemen

31

3. b b a

n m

an m log = log

contoh 29:

a. 5

2 2

5

32 log 4 2 log 22 2 log 2 5 = = =

b. 12

log3 1

12

81 log 3 36 log31/ 2 1 3 = = =

4. a logc. clogb=a logb

Contoh 30:

a. 2 log3. 3log8=2 log8 = 3

b.

2

log5 1

2

log 2. log5 1

2

5 log 2. 16 log 25 5 log 2. 24 log52 1 5 2 5 = = = =

5. a log1 = 0

Penerapan sifat-sifat logaritma yang telah dijelaskan di atas pada persamaan yang mengandung

fungsi f(x) atau g(x), dapat dijelaskan untuk beberapa bentukk berikut:

1. alog f(x) = alog g(x)

f(x) = g(x)

2. alog f(x) = b

f(x) = ab

Sains Manajemen

32

3. f(x)log a = b

(f(x))b = a

Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (bilangan pokok > 0 ‚ 1

dan numerus > 0 )

Contoh 31: tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !

1. xlog

= -1/2

x-1/2 = 2-1

(x -1/2) -2 = (2-1)-2

x = 22 = 4

2. xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6

xlog 34 - 2 xlog33 + xlog2 + 1/2 xlog 36 = 6

4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6

3 xlog 3 = 6

xlog 3 = 2

x2 = 3

x = ã3 ; (x>0)

3. xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0

xlog(x+12) - xlog 43 = -1

xlog ((x+12)/43) = -1

(x+12)/43 = 1/x

x2 + 12x - 64 = 0

(x + 16)(x - 4) = 0

x = -16 (tidak memenuhi); x = 4

Sains Manajemen

33

4. 2log2x - 4 2logx + 3 = 0

misal : 2log x = p

p2 - 4p + 3 = 0

(p-3)(p-1) = 0

p1 = 3

2log x = 3

x1 = 23 = 8

p2 = 1

2log x =

1

x2 = 2

2.3.2 Pertidaksamaan

a. Pengertian pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dimana ruas kiri dan kanannya dihubungkan dengan

tanda pertidaksamaan g>h (lebih dari), g<h (kurang dari) , g . h (lebih besar dari dan sama

denganh atau g .h (lebih kecil dari dan sama dengan).

Tabel 2.4 Penulisan Pertidaksamaan dan Interpretasi

Pertidaksamaan Interpretasi

3 < 5 3 kurang dari 5

x > 100 Nilai x lebih besar dari 100

0<y<10 Nilai y lebih besar dari 0 dan

kurang dari 10

b. Sifat-sifat pertidaksamaan

Sains Manajemen

34

1. a < b b > a

2. Jika a >b maka:

i. a } b > b } c

ii. ac > bc apabila c >0

iii. ac < bc apabila c < 0

iv. a 3 > b 3

3. Jika a > b dan b > c a > c

4. Jika a > b dan c > d a + c > b + d

5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 ac > bd

6. Jika a>b>0 maka :

i. a 2 > b 2

ii.

<

7.

< 0 ab<0: b ‚ 0

8.

> 0 ab>0: b ‚ 0

c. Notasi interval terbuka dan tertutup

1) Notasi interval terbuka; (a,b) = {x / a < x < b}

2) Notasi interval tertutup kiri; [a,b) = {x/ a . x <b}

3) Notasi interval tertutup kanan; (a,b] = {x/ a < x . b}

4) Notasi interval tertutup; [a,b] = {x/ a . x . b}

5) Notasi interval tak berhingga (-

Sains Manajemen

35

0

( 3)( 1)

( 2 ) .

. +

.

x x

x

,

) = { x/ x . R}

d. Penyelesaian pertidaksamaan

Menemukan jawaban pertidaksamaan adalah menentukan daerah yang memenuhi hubungan

pertidaksamaan yang dinyatakan. Penulisan himpunan jawaban pertidaksamaan dapat dalam

bentuk interval yang telah didefenisikan di atas.

Contoh 20: tentukan himpunan jawaban pertidaksamaan 2x + 3 . -5

Jawab: 2x + 3 . -5

2x . -5 -3

x . -4; jadi himpunan jawaban [-

4,

)

Contoh 21: tentukan himpunan jawaban pertidaksamaan -3 < x-2 < 2,

Jawab: -3 < x-2 < 2

-3 + 2 < x < 2 + 2

-1 < x < 4, jadi himpunan jawaban (-1,4)

Contoh 22: tentukan himpunan jawaban pertidaksamaan (x-2)(x-3) . 0,

Jawab: (x-2)(x-3) . 0; memiliki titik nol; x-2 = 0, x=2 atau x-3 = 0, x = 3

Daerah yang memenuhi adalah daerah negatip e-e, jadi himpunan jawabannya

adalah [2,3]

Contoh 23: tentukan himpunan jawaban pertidaksamaan

Jawab: ; dalam kasus ini walaupun pertidaksamaan

0

( 3)( 1)

( 2 ) .

. +

.

x x

x

2 3

+ - +

Sains Manajemen

36

Mengandung tanda g=h namun hanya dipenuhi oleh suku pembilang, sedangakan

penyebut harus ‚ 0, jadi x ‚ -1, dan x ‚ 3.

Perhatikan garis bilangan dengan titik-titik nol dari suku pertidaksamaan berikut:

Daerah negatip (-) pada garis bilangan merupakan daerah jawabannya, sehinggga

himpunan jawabannya adalah: (-

, -1) ƒÒ [ 2, 3)

c. Nilai absolut (mutlak)

Nilai absolut adalah sebuah bilangan sebagai jarak, yang harus lebih besar atau sama dengan nol,

atau dari nol ke sebuah bilangan nyata pada garis bilangan. Nilai absolut dari bilangan a ditulis

|a|, dan didefinisikan sebagai berikut:

jika a > 0

|a| = jika a = 0

jika a < 0

i. Sifat nilai absolut

1. | a | . 0

2. | -a | = | a |

3. | a-b | = | b-a |

4. | ab | = | a || b |

5.

ii. Persamaan dengan nilai absolut

Menyelesaikan persamaan dalam bentuk nilai absolut perlu kehati-hatian karena harus

memperhatikan definisi dan sifat dari nilai absolut. Jika persamaan |x| = a, a . 0 (sifat 1);

artinya jika x > 0, maka x = a, namun jika x < 0, maka .x = a, atau x = -a. Biasanya untuk

..

..

.

.a

a

0

b

a

b

a =

-1 2 3

- + - +

Sains Manajemen

37

menghindari kedua kondisi tersebut maka persamaan ini dapat dikuadratkan sehingga pengaruh

nilai absolut menjadi hilang, karena bilangan kuadrat selalu positip.

Jadi persamaan | x | = a, dikuadratkan menjadi :

x2 = a2, selanjutnya difaktorkan menjadi:

x2 - a2 = 0

(x . a)(x + a) = 0

x1 = a, atau x2 = -a

Contoh 24: tentukan jawaban persamaan | x . 2 | = 1.

Jawab: Jika persamaan ini dikuadratkan di peroleh:

(x-2)2 = 1, atau (x-2)2 . 1 = 0, kemudian difaktorkan menjadi:

((x-2) + 1)((x-2) . 1) = 0

(x . 1)(x . 3) = 0, jadi x1 = 1 atau x2 = 3.

Himpunan Jawabannya {1,3}

iii. Pertidaksamaan dengan nilai absolut

Penyelesaian pertidaksamaan dengan nilai absolut tidak bebeda jauh dengan bentuk persamaan,

namun himpunan jawaban dari pertidaksamaan adalah derah interval seperti yang telah

dijelaskan sebelumnya. Untuk itu diperlukan penentuan daerah penyelesaian yang memenuhi

pertidaksamaan, biasana dibantu dengan garis bilangan.

Contoh 25: tentukan himpunan penyelesaian

Jawab:

; jika dikuadratkan, menghasilkan:

(x . 2)2 < 42

(x . 2)2 - 42 < 0

((x . 2) + 4)((x . 2) - 4) < 0

(x+2)(x-6) = 0; titik nol x1 = -2 atau x2 = 6, daerah yang memenuhi pada garis

bilangan berikut adalah:

-2 6

+ - +

Sains Manajemen

38

Karena daerah negatip merupakan daerah jawabannya, maka himpunan jawabannya

adalah (-2,6)

Contoh 26: tentukan himpunan penyelesaian

Jawab:

, jika dikuadratkan, menghasilkan:

(3x . 1)2 . (x . 2)2

(3x . 1)2 - (x . 2)2 . 0

((3x . 1) - (x . 2))((3x . 1) + (x . 2)) . 0

(2x + 1)(4x . 3) . 0

titik nol dari pertidaksamaan ini adalah x = -1/2, atau x = 3/4,

daerah yang memenuhi pada garis bilangan berikut adalah

daerah negatip (-)

Karena daerah negatip merupakan daerah jawabannya, maka himpunan

jawabannya adalah [ -1/2, 3/4]

2.4 Soal-Soal Latihan

I. Himpunan

1. Jika himpunan semesta S = { s / 1 . s .15, s bilangan nyata }, himpunan A = { 1, 2, 3,

4,5}, himpunan B = { 1, 3, 5, 7,9}, dan dan himpunan C = { 2, 4, 6, 8,10,12 }, maka tentukan

himpunan:

a) Komplomen A

b) A - B

c) B . A

d) C . A

e) A . (BUC)

-1/2 3/4

+ - +

Sains Manajemen

39

f) C - (AUB)

2. Jika diketahui A = {x/ x . 27; x . Bilangan Asli}

B = {y/ 0 . y .18; y . Bilangan Kelipatan tiga}

C = {z/ z < 19; z . Bilangan Prima}

a) Tentukan himpunan A ¿ B, A ¿ C

b) Tentukan himpunan A

B, dan B

C

c) Tentukan himpunan

A

(B ¿ C)danA¿( B

C)

d) Tentkan himpunan A-B dan B-A

3. Gambarlah diagram Venn untuk tiga himpunan A, B, dan C yang tidak saling lepas yang

menyatakan:

a) (A-B)

C, Apakah A

C ?

b) Apakah (A ¿ B)

C ?

c) (B-A) ¿ C dan bukan himpunan kosong

d) Rumuskan Himpunan A, B, dan C sebagai himpunan dari Bilangan Nyata yang

memenuhi a, b, dan C dengan anggota yang terbatas

4. Dari 50 mahasiswa angkatan 2011 jurusan manajemen program manajemen perhotelan akan

mengambil 3 matakuliah semester pendek, 20 mahasiswa mengambil matakuliah statistik, 25

matematik, 23 pancasila. 4 mahasiswa mengambil 3 matakuliah tersebut, 4 mengambil

statistik dan matematik. 9 mahasiswa hanya mengambil statistik. 10 mahasiswa hanya

mengambil matematik. Gambar diagram Venn untuk data ini dan jawablah pertanyaan

berikut:

a) Berapa jumlah mahasiswa yang tidak mengambil semester pendek ?

b) Berapa jumlah mahasiswa mengambil matakuliah matematik dan pancasila?

c) berapa jumlah mhasiswa yang mengambil hanya 2 matakuliah

5. Buktikan dengan diagram Venn hokum De Morgen

Sains Manajemen

40

_____ _ _

a) (A U B) = A ¿ B

_____ _ _

b) (A ¿ B) = A U B

II. Sistem Biangan Nyata

1. Sederhanakan bentuk pangkat berikut:

a. a5a.4 b. (3x3 y4 )(5x.3 y2 )

c. (3a)3 d.

1

2 5

1 2 .

. .

. .

. ..

.

. ..

.

r qp

p qr

e. (a2 / 3 )5 / 2 f.

3 / 2

3

4

. ..

.

. ..

.

y .

x y

g. 6 7

3 5

a b

a b

.

.

h.

2

2

3 2

(2 3 2 ) 2

.

. ..

.

. ..

.

c

ab c a b

2. Gunakan manipulasi aljabar untuk menghilangkan tanda kurung dari soal di bawah ini

a. 4 . 6(8 . 9) . 13

b. 3 2( 2 . 8)

c. 23 4(3 2 + 3 16)

d. 2

3

1

6 5

( + ).

3. Sederhanakan penulisan berikut:

a.

3

5

1

5

4 3

2

3 2

.

+

.

. +

.

.

x x

x x x

x

b.

3

4 6

3

18

2 +

. +

x + x x x

c.

2 4

3 8

.

.

x

x

Sains Manajemen

41

d. (2x . 3)2

e. (2x + 3)(5x+1)

4. Buktikan pertidaksamaan bahwa:

a < b Ë

2

a a b

+

< < b

III. Persamaan

1. x2 + 3x + 1 = 0

2. 3x2 - 2x + 5 = 0

3. x2 + 10x + 25 = 0

Pertidaksamaan dengan harga mutlak

i.

ii.

iii.

iv.

v.

BAB III

Sains Manajemen

42

RELASI DAN FUNGSI

3.1 Konsep Ralasi

Sebelum memahami konsep fungsi, terlebih dahulu memahami pengertian relasi. Suatu bentuk

relasi dapat disajikan dengan diagram panah, diagram Cartesius atau dengan himpunan terurut,

seperti yang telah dijelaskan pada Bab II.

Contoh 1: Relasi orang tua dengan anak dapat disajikan dengan diagram panah maupun diagram

Cartesius

Sulis

Puji

Suryo

Agus

Ahmad Romi Gunawan

Gambar 3.1a Relasi diagram panah

Gambar 3.1b Relasi diagram Cartesius

a. Pengertian Relasi

Relasi dari dua himpunan adalah hubungan atara dua himpunan dengan cara memasangkan

setiap angota himpunan asal dengan anggota himpunan tujuan yang lain. Relasi dari himpunan A

ke himpunan B adalah hubungan atau pasangan antara setiap anggota himpunan A dengan

anggota himpunan B.

b. Sifat-sifat relasi

1. Reflektif; relasi R pada himpunan A dikatakan bersifat reflektif, jika a ƒÃ A maka (a,a) ƒÃ

R atau a R a.

2. Simetris; relasi R dikatakan bersifat simetris,jika (a,b)ƒÃ R maka (b,a) ƒÃ R atau jika a R b

maka b R a.

3. Transitif; relasi R dikatakan bersifat transitif ,jika (a,b)ƒÃ R maka (b,c) ƒÃ R maka(a,c) ƒÃ R

atau jika a R b dan b R c maka c R c.

Ahmad

Romi

Gunawan

Agus

Surya

Puji

Sulis

Sains Manajemen

43

4. Ekiuvalen; relasi ekuivalen adalah relasi yang mempunyai sifat reflektif,simetrik,dan

transitif.

Contoh 2: Diketahui himpunan A = {1,2,3} dan himpunan B = {1,4,9}, relasi dari himpunan A

ke himpunan B, yaitu menghubungkan setiap anggota himpunan A ke kuadratnya

sebagai anggota himpunan B, sehingga mendapatkan himpunan {(1,1),(2,4),(3,9)},

sebagai pasangan terurut.

Gambar 3.2a Diagram Panah Relasi A ke B

3.2 Fungsi

a. Definisi Fungsi

Suatu fungsi dapat ditunjukan sebagai suatu proses input menjadi output.

Gambar 3.3 Fungsi Sebagai Proses Input Menjadi Output

Jika y = x2 + 3x + 1, maka akan ditemukan hubungan input dan output sebagai berikut:

Input Hubungan Output

Jika x =1 y = (1)2 + 3(1) + 1 = 5

Jika x = -1 y = (-1)2 + 3(-1) + 1 = -1

Jika x = 2 y = (2)2 + 3(2) + 1 = 11

1

2

3

1

4

9

INPU

T

FUNG

SI

OUTPU

T

Sains Manajemen

44

Persamaan di atas menunjukan suatu aturan yang mentransformasikan satu nilai dari x kepada

satu nilai y. Sehingga fungsi merupakan suatu aturan yang menghubungkan setiap nilai input

kepada satu dan hanya satu nilai output, atau suatu pemetaan dari himpunan A ke himpunan B

yang merupakan suatu relasi khusus sedemikian rupa sehingga, setiap anggota A dipasangkan

dengan tepat satu dan hanya satu anggota B, dan dapat ditulis:

f : A

B

1. Himpunan A disebut domain fungsi, dan himpunan B disebut codomain fungsi.

2. Bila a

A, maka b

B yang menyatakan pasangan dari A, disebut image (peta) dari A. ditulis f(a) = b

3. Kumpulan dari image-image a

A di B, membentuk range fungsi.

range = f(a)

b. Notasi fungsi

Dalam menulis notasi fungsi, perlu diperhatikan kedudukan antar variabel dalam fungsi tersebut.

Pada umumnya kedudukan variabel bebas dinotasikan dengan gxh dan notasi variabel tidak

bebas dengan gyh. Penulisan fungsi yang menyatakan hubungan antar dua variabel tersebut di

atas adalah :

y = f (x), dibaca y adalah fungsi dari x

Walaupun penulisan fungsi pada umumnya seperti yang dinyatakan di atas, namun penggantian

notasi variabel (x,y) dan fungsi (f) masih dapat diganti dengan analogi yang tidak berbeda,

seperti:

Sains Manajemen

45

u = g(v) atau s = h(t)

Fungsi merupakan hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsurunsur

pembentuk fungsi adalah; variabel, koefisien, dan konstante atau parameter. Seperti telah

disinggung pada Bab I; Variabel merupakan unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan

ke keadaan lainnya, dan dalam suatu rumusan fungsi dapat dibedakan menjadi variabel bebas

dan tidak bebas. Variabel bebas yaitu variabel yang dapat menerangkan variabel lainnya

(mempengaruhi) Variabel tidak bebas yaitu variabel yang diterangkan oleh variabel bebas

(dipengaruhi)

Koefisien ialah bilangan atau angka yang diletakkan tepat didepan suatu variabel, dan terkait

dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta adalah suatu besaran bilangan atau angka yang

sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel. Konstanta dan koefisien yang sifatnya

umum disebut sebagai parameter, artinya besarannya tetap untuk suatu kasus, tetapi berubah

pada kasus lainnya

Penulisan Fungsi dapat dilakukan secara implisit maupun eksplisit, penulisan fungsi y = f(x),

atau x = g(y) merupakan bentuk penulisan fungsi secara eksplisit, karena kedudukan variabel

dalam persamaan fungsi sebagai variabel bebas (independent variable) dan variabel tidak bebas

(dependent variable) telah jelas. Sedangkan penulisan fungsi f(x,y) = c, merupakan penulisan

fungsi secara implisit, yaitu kedudukan variabel sebagai variabel bebas dan tidak bebas dalam

persamaan fungsi belum jelas.

Contoh 3: Penulisan fungsi Y = 20 . 3X adalah bentuk eksplisit, sedangkan Y+3X = 20 adalah

bentuk implisit

c. Sifat-sifat fungsi

1. Fungsi injektif /fungsi satu-satu/fungsi into

Fungsi f: A

B disebut fungsi injektif,apabila setiap anggota B yang mempunyai pasangan pada

A hanya tepat satu saja.Dalam hal ini ,tidak perlu semua anggota B mempunyai

pasangan anggota di A.

Sains Manajemen

46

Contoh 4: Himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b, c, d}, aturan yang menghasilkan

pasangan terurut {(1,c), (2,a), (3,d)} seperti yang digambarkan pada gambar 3.4

merupakan fungsi injektif.

f: A B

Gambar 3.4 Fungsi Injektif

2. Fungsi surjektif /fungsi onto/fungsi pada

Fungsi f: A

B disebut fungsi onto,apabila setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A.

Contoh 5: Himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b}, aturan yang menghasilkan

pasangan terurut {(1,b), (2,a), (3,b)} seperti yang digambarkan pada gambar 3.5

merupakan fungsi surjektif.

f: A B

Gambar 3.5 Fungsi Surjektif

3. Fungsi bijektif/fungsi kerespondensi satu-satu

Suatu fungsi f: A

B disebut fungsi bijektif jika fungsi tersebut merupakan fungsi surjektif dan fungsi

injektif. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi dalam korespondensi satusatu,

yaitu setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu dan hanya

1

2

3

a

b

c

d

1

2

3

a

b

Sains Manajemen

47

satu anggota himpunan B, dan setiap anggota himpunan B juga dipasangkan dengan

tepat satu dan hanya satu dalam himpunan A, sehingga hubungan dari B ke A juga

sebagai sebuah fungsi.

Contoh 6: Himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b, c}, aturan yang menghasilkan

pasangan terurut {(1,c), (2,a), (3,b)} seperti yang digambarkan pada gambar 3.6

merupakan fungsi bijektif.

f: A B

Gambar 3.5 Fungsi Bijektif

d. Fungsi Invers

Misalkan aturan fungsi f: A ¨ B adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang

mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu dan hanya satu elemen pada himpunan A.

Fungsi yang mempunyai invers disebut invertible. Invers dari fungsi f dinyatakan dengan f -1

dengan penulisan:

f -1 : B ¨ A, sehingga dapat disimpulkan bahwa, jika f adalah fungsi bijektif yang

dapat ditulis: y = f(x) maka selalu dapat ditemukan x = f -1 (y).

1

2

3

a

b

c

Sains Manajemen

48

Gambar 3.6 Hubungan Fungsi dengan Inversnya

Contoh 7: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a) = 2, f(b) = 3 dan f(c) =

1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.

Jawab: fungsi f bijeksi karena setiap anggota himpunan A memiliki pasangan 1-1 dengan

anggota himpunan B, dan sebaliknya setiap anggota himpunan B memiliki

pasangan 1-1 dengan anggota himpunan A, sehingga fungsi dikatakan

invertible, dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.

Contoh 8: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel.

Jawab: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka fungsi dikatakan tidak

invertible, sehingga fungsi tidak memiliki invers.

e. Fungsi komposisi

Misalkan g: A .. B dan f: B .. C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f . g adalah fungsi f . g:

A .. C dengan (f . g)(x):= f(g(x)).

Gambar 3.7 Fungsi Komposisi

SOAL

1. Jelaskan apa yang disebut dengan relasi !

2. Nyatakan relasi berikut dalam pasangan berurut .

a. Relasi gkelipatan dari g dari himpunan A={1,2,3,4} ke himpunan

B={1,2,4,6,8,9,10,14,16}

Sains Manajemen

49

b. Relasi gkurang darih dari himpunan A = {1,2,3} ke himpunan B = {1,2,3,4,5}

3. Manakah dari diagram panah berikut ini yang merupakan pemetaan ?

a. b.

C d.

4. Diketahui f(x)=8x+4.Tentukan

a. f(-3) c.f(x) jika x=6

b. f(4) d.x jika f(x)=26

5. tentukan notasi fungsi dari diagram panah berikut ini.

a. b

BAB IV

FUNGSI MATEMATIKA

4.1 Fungsi Aljabar

Terdapat beberapa jenis fungsi yang umumnya digunakan dalam penerapan dunia nyata. Fungsi

yang dimaksud digolongkan dalam fungsi aljabar, dan fungsi non aljabar (transenden). Fungsi

tersebut juga digunakan pada kasus nyata bidang ekonomi dan bisnis. Penggolongan fungsi

matematik dapat disajikan pada Diagram 4.1 berikut.

a

b

c

6

1

2

3

a

b

c

1

2

3

a

b

c

1

2

a

b

c

1

2

3

4

-2

-1

0

1

0

1

2

3

1

3

5

7

Sains Manajemen

50

Diagram 4.1 Penggolongan Fungsi Matematik

Tidak semua jenis fungsi pada Diagram 4.1 di atas akan dibahas dalam modul ini. Beberapa jenis

fungsi yang akan berguna dalam pemodelan dan pemecahan masalah ekonomi dan bisnis akan

dibahas lebih lanjut.

4.1.1 Fungsi Linear

Fungsi linear atau fungsi garis lurus merupakan sebuah hubungan fungsional antar variabel tidak

bebas y dengan variabel bebas x yang berpangkat satu. Fungsi linear dengan hanya

menggunakan satu variabel x disebut sebagai fungsi linear sederhana. Jika menggunakan

berbagai variabel bebas x (lebih dari satu variabel), maka disebut fungsi linear berganda.

a. Fungsi linear sederhana

Seperti telah dijelaskan di atas fungsi linear sederhana menggunakan satu variabel bebas x di

dalam model. Grafik dari fungsi ini berbentuk garis lurus, yang dapat digambarkan pada ruang

dua dimensi.

Model umum fungsi linear sederhana:

Y = a + b X;

a, b, konstanta (parameter)

X adalah variabel bebas; Y adalah variabel tidak bebas

Untuk menemukan nilai a dan b pada persamaan linear di atas dapat dilakukan dengan beberapa

cara, namun dalam modul ini diberikan dua cara.

Sains Manajemen

51

1. Eliminasi dan substitusi

Cara ini membutuhkan dua persamaan yang mengandung dua nilai yang tidak diketahui, yaitu a

dan b, untuk itu dibutuhkan dua pasangan nilai (xi,yj), yang akan disubstitusi nilainya kedalam

persamaan Y = a + bX, sehingga terbentuk sistem persamaan dengan dua persamaan dalam a

dan b. Nilai a dan b yang diperoleh dari sistem persamaan ini akan menghasilkan persamaan

linear sederhana yang dicari.

Contoh 1; terdapat hubungan fungsional antara x dan y dengan kondisi x = 4, y = 12, dan x =

8, y = 20, jika hubungan antara x dan y linear, tentukan persamaan Y = a + b X

Jawab:

Untuk X = 4 ; Y = 12; menghasilkan persamaan 12 = a + 4b (1)

Untuk X = 8 ; Y = 20; menghasilkan persamaan 20 = a + 8b - (2)

-8 = -4b

b = 2

substitusi b = 2 pada persamaan (1) diperoleh ; a = 12 . 8 = 4

persamaan fungsi linear tersebut adalah : Y = 4 + 2X

2. Geometri garis lurus

Seperti telah dijelaskan di atas bahwa grafik dari fungsi linear swderhana adalah garis lurus,

sehingga pendekatan persamaan fungsi dapat dilakukan dengan geometri garis lurus tersebut.

Perhatikan Gambar 4.1 di bawah ini:

.........(2)

1

1

.......(1)

2 1

2 1

x x

tg y y

juga

x x

y y

x

tg y

.

.

=

.

.

=

Ģ

Ģ

=

ƒÀ

ƒÀ

Y

X

y = a + bx

x1

y1

x2

y2

Ģx =x2-x1

Ģy= y2.y1

ƒÀ

x

y

y-y1

x-x1

Sains Manajemen

52

8 4

4

20 12

12

.

.

.

y . = x

Gambar 4.1 Bentuk Geometris Garis Lurus

Terlihat bahwa garis lurus y = a + bx melalui pasangan titik (x1,y1) dan (x2,y2), jika perubahan

y1 ke y2 ditulis sebagai Ģy = y2-y1, dan perubahan x1 ke x2 ditulis sebagai Ģx = x2.x1, maka

terlihat bahwa tg ƒÀ = ƒ¢y/ƒ¢x =

; sebagai persamaan (1), dan selanjutnya perhatikan juga tg ƒÀ =

; sebagai persamaan (2), dan tg ƒÀ merupakan slope dari garis lurus Y = a + bx.. Dari persamaan

(1) dan persamaan (2), dapat ditemukan formula persamaan garis lurus Y = a + bX, sebagai

berikut:

Contoh 2; tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (4,12) dan (8,20).

Jawab:

4 (y . 12) = 8(x-4)

y = 2x + 4

Jika tg ƒÀ atau slope garis lurus y = a + bx diketahui, maka tgƒÀ = b, dan persamaan garis lurus

melalui (x1,y1) di atas dapat ditulis sebagai berikut:

y . y1 = b(x . x1)

2 1

1

2 1

1

x x

x x

y y

y y

.

.

.

. =

2 1

1

2 1

1

x x

x x

y y

y y

.

.

.

. =

Sains Manajemen

53

Contoh 3: persamaan linear sederhana y = a + bx, mempunyai sifat sebagai berikut: apabila x

berubah satu satuan x maka y akan berubah 1/2 satuan y, dan untuk x = 2, y = 5. tentukan

persamaan linear tersebut.

Jawab: Dalam persamaan linear sederhana y = a + bx, mempunyai sifat, apabila x berubah

satu satuan x, maka y akan berubah b satuan y. Sehingga pada kasus ini nilai Ģx = 1, Ģy = . ,

jadi b = Ģy/Ģx = . , sehingga persamaanya menjadi:

y - 5 =. (x - 2)

y = . x -1 + 5

y = . x + 4

Jika terdapat dua garis lurus: y1 = a1 + b1X dan y2 = a2 + b2X maka dapat terjadi: y1 sejajar y2

pada saat b1 = b2, y1 berpotongan y2 jika b1 ‚ b2, dan khusus berpotongan tegak lurus b1 = -1/b2.

Gambar 4.2 Grafik Dua Garis Lurus Sejajar

X

Y

Y1 = a1 + b1X

Y2 = a2 + b2X

Y1 // Y2

b1= b2 atau

tg ƒ¿1 = tg ƒ¿2

a1

a2

2

1

Sains Manajemen

54

Gambar 4.3 Grafik Dua Garis Lurus Berpotongan Tegak Lurus

Menentukan titik potong dua garis lurus y1 dan y2 pada gambar di atas, tidak lain adalah mencari

pasangan titik (x,y) yang memenuhi persamaan kedua persamaan y1 dan y2, yaitu (x,y) yang

memenuhi persamaan y1 = y2.

Contoh 4: tentukan titik potong antara garis lurus y1 = 2x - 10, dan y2 = 2 . x dan gambar grafik

fungsinya.

Jawab: titik potong sb-x dan sb-y persamaan garis lurus y1 = 2x . 10, titik potong sb-x;

pada saat y = 0, jadi 2x . 10 = 0, x = 5, atau (5,0)

Titik potong sb-y; pada saat x = 0, y = -10 atau (0,-10).

Titik potong sb-x dan sb-y persamaan garis lurus y2 = 2 - x, titik potong sb-x;

pada saat y = 0, jadi 2 - x = 0, x = 2, atau (2,0), titik potong sb-y; pada saat x

= 0, y = 2 atau (0,2).

Titik potong kedua garis tersebut adalah: y1 = y2 ;

2x - 10 = 2 - x

3x = 12

x = 4

y = 2 . 4 = -2

Jadi titik potong (4,-2)

X

Y

Y1 = a1 + b1X

Y2 = a2 + b2X

Y1 Y2

b1 = -1/ b2

a2

a1

Sains Manajemen

55

Gambar 4.4 Garafik Perpotongan Garis Lurus y1 = 2x - 10, dan y2 = 2 . x

4.1.2 Fungsi Kuadrat

Fungsi f yang didefinisikan sebagai f(x)= ax2 + bx2 + c di mana a, b, c R dan a ‚ 0

didefinisikan sebagai fungsi kuadrat

Bentuk umumnya untuk y = f(x) adalah :

Y = aX2 + bX + c ; a, b. dan c adalah konstanta dan a‚0

Grafik dari fungsi kuadrat adalah parabola, dengan sumbu simetri sejajar sumbu-Y

Y

X

Y = 2x - 10

Y = 2 - x

5

-10

2

0

2 4

-2

Sains Manajemen

56

Fungsi Kuadrat mempunyai nilai ekstrem tunggal (mutlak), atau hanya satu-satunya

Nilai Ekstrem fungsi Kuadrat akan sangat bergantung pada nilai koefisien X2, yaitu nilai

a‚0 pada persamaan y = ax2 + bx + c.

jika a > 0, maka ekstrem Minimum

jika a < 0, maka ekstrem Maksimum

Sains Manajemen

57

Menggambar nilai fungsi ekstrem dengan menggunakan konsep kuadrat sempurna y = ax2 + c,

pada gambar di bawah terlihat bahwa nilai ekstrem fungsi tidak berubah selalu sama dengan c,

jika yang terjadi perubahan bentuk kuadrat sempurna dengan nilai a dan c tidak berubah.

Perubahan yang terjadi adalah pergeseran sumbu simetri, sedangkan bentuk dan luas parabola

tidak berubah.

MENENTUKAN NILAI EKSTREM DENGAN FORMULA KUADRAT SEMPURNA

Perhatikan persamaan kuadra sempurna Y = ax2 + c; nilai x2>0, untuk setiap nilai x Jika a > 0,

maka aX2 > 0, sehingga untuk : c > 0, ax2 + c > c dan untuk c < 0, ax2 + c > c

Sains Manajemen

58

dan pada saat x = 0, Y = ax2 + c adalah Y = 0 + c atau Y = c, merupakan nilai terkecil,

sehingga nilai Y(minimum) = c untuk nilai x = 0.

Jika Jika a < 0, maka aX2 < 0, sehingga untuk :nilai c > 0, aX2 + c < c , sedangkan untuk nilai c

< 0, aX2 + c < c, dan pada saat nilai x = 0, Y = ax2+ c = 0 + c atau Y = c, merupakan nilai

terbesar . Sehingga nilai Y(maksimum) = c untuk nilai x = 0.

Analogi dengan bentuk kuadrat sempurna di atas, dapat dilihat bahwa; jika Y = au2+c, akan

memberikan kesimpulan yang sama, yaitu, jika a>0, maka y(minimum) = c untuk u= 0, dan jika

a<0, maka y(maksimum) = c untuk u = 0.

Apabila u=x+b, maka, bentuk di atas menjadi Y = a(x+b)2+ c, artinya Ymin = c untuk x = -b, jika

a>0, atau Ymax = c untuk x = -b; jika a< 0. Seperti ditunjukan pada gambar ( ) dan gambar ( )

2. Pendekatan Penggunaan Rumus Diskriminan (D)

Sains Manajemen

59

Perhatikan model fungsi kuadrat: Y = aX2 + bX + c, a‚0; Model ini dapat dimanipulasi

menjadi :

Jadi untuk model fungsi kuadrat: Y = aX2+bX+c, a‚0; atau

nilai ekstremnya adalah: y = -D/4a dengan D = b2-4ac, disebut Diskriminan

Jika a > 0, Y(minimum)=- D/4a untuk X=-b/2a

Jika a < 0, Y(maksimum)=- D/4a untuk X=-b/2a

Tentukan Ekstrem fungsi dan Gambar grafiknya

.. 1. Y = 4 . 2x + x2

.. 2. Y = 10 + 6x -3x2

.. 3. Y = . x2 + x + 2

Penyelesayan . Y = x2 -2x + 4

Y = (x-1)2+3

Y(min) = 3 untuk x = 1

Titik potong sumbu-y di titik (0,4)

a

D

a

b

a

b ac

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

Y a X

D b ac maka

Y a X

Y a X c

Y a X c

Y a X X c

4

2

2

2

4

2 4

2

4

2

2

4

2

2

2

( )

4 , :

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2

2

2

= + .

= .

= + .

= + . .

= + . +

= + +

.

a

D

a

Y a X b 4

2

2 = ( + ) .

Sains Manajemen

60

Jawab . Y = 10 + 6x -3x2

Y = -3(x-2)2+13

Y(max) = 13 untuk x = 2

Titik potong sumbu-y di titik (0,10)

Sains Manajemen

61

1. Y = . x2 + x + 2

Y = .(x2+2x) +2

Y = .(x+1)2 +3/2

Y = .(x+1)2 +3/2

Y(min) = 3/2 untuk x = -1

Titik potong terhadap sb y; di titik (0, =2)

Sains Manajemen

62

.. Jika parobola y1=ax2 + bx +c, a>0, dan garis lurus y2= px + q, p<0, yang saling

berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut :

Jika parabola y1=ax2+bx+c, a<0 dan garis lurus, y2 = px + q, p>0, yang saling berpotongan,

maka dapat terjadi seperti gambar berikut:

Sains Manajemen

63

Jika parabola y1=ax2+bx+c, a>0 dan parabola y2 = px2 + qx + r, p<0, yang saling berpotongan,

maka dapat terjadi seperti gambar berikut:

FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

Sains Manajemen

64

. Fungsi eksponen mempunyai hubungan yang erat, karena merupakan kebalikan satu

sama lainnya

. Fungsi eksponen berbeda dengan fungsi pangkat

. Fungsi pangkat adalah fungsi yang variabelnya dipangkatkan dengan bilangan konstan

. Fungsi eksponen adalah konstannya yang dipangkatkan dengan variabel

. Y = x1/2 adalah fungsi pangkat

. Y = 2x adalah fungsi eksponen

. Fungsi eksponen mempunyai dua basis eksponen, yaitu (1) basis konstante a dengan

0<a<1, dan a>1 (bilangan biasa), dan (2) basis konstante e = 2.71828c..

. Y = ax dengan a>1, akan mempunyai perilaku sebagai berikut :

. Nilai Y akan mendekati tak berhingga jika x menuju tak berhingga positip, akan

mendekati nol apabila x menuju tak berhingga negatip

. Nilai Y = 1 untuk x = 0 untuk setiap a

GRAFIK FUNGSI EKSPONEN

. Grafik dari fungsi Y = 2x

Sains Manajemen

65

KARAKTERISTIK FUNGSI EKSPONENSIAL

. Jika terdapat a>0 dan b> 0 dan m dan n bilangan nyata, maka berlaku :

1. bmbn = bm+n

2. bm/bn = bm-n

3. (bm)n = bmn

4. ambm = (ab)m

5. bm/n = (bm)1/n

6. am = an , maka m = n

FUNGSI LOGARITMA

Sains Manajemen

66

. Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari sebuah bilangan pokok untuk

menghasilkan bilangan tertentu yang diinginkan.

. Bilangan dasar atau basis dari logaritma adalah bilangan bulat positip kecuali bilangan 1

. Dalam kasusus umum bilangan pokok yang digunakan adalah 10 atau e

. Bilangan pokok atau basis 10 biasanya tidak ditulis, sehingga log 10 = 1, karena 101= 10

. Bilangan pokok e juga tidak ditulis, tetapi penulisan ln e = 1, artinya elog e = 1

GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

. Grafik fungsi logaritma merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, namun grafik

fungsi logaritma Y = log X hanya berada pada nilai Domain: x > 0, dan nilai Range

~<Y<~; sedangkan grafik fungsi eksponen mempunyai Domain: -~<x<~ dan Range : y >

0

. Grafik y = log x

GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

y

x

1

y = logx

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Sains Manajemen

67

. Untuk a dan b bilangan positip

. log ab = log a + log b

. log a/b = log a . log b

. log ab = b log a

. log 1 = 0 log 10 = 1

. log a = log b maka a = b

. Sifat yang sama berlaku untuk logaritma dengan basis e atau (ln), misal ln e = 1

via materi